Сужение функции

Сужение функции на подмножество ${\displaystyle X}$ её области определения ${\displaystyle D\supset X}$ — функция с областью определения ${\displaystyle X}$, совпадающая с исходной функцией на всём ${\displaystyle X}$.

Сужение функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle f|_{X}}$ или ${\displaystyle f|X}$. Так, для ${\displaystyle f:A\to B}$, и ${\displaystyle X\subset A}$, ${\displaystyle g=f|_{X}}$ означает, что ${\displaystyle g:X\to B}$ и ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ для любого ${\displaystyle x\in X}$.

Пусть дано отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle M\subset X}$.

Функция ${\displaystyle g\colon M\to Y}$, которая принимает на ${\displaystyle M}$ те же значения, что и функция ${\displaystyle f}$, называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции ${\displaystyle f}$ на множество ${\displaystyle M}$.

• Наиболее общее определение сужения реализуется в контексте пучков^[].
• Для функции ${\displaystyle f:A\to B}$ рассматривают также сужение на подмножество ${\displaystyle A\times B}$

Если функция ${\displaystyle g\colon M\to Y}$ такова, что она является сужением для некоторой функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, то функция ${\displaystyle f}$, в свою очередь, называется продолжением функции ${\displaystyle g}$ на множество ${\displaystyle X}$.

Имея некоторую функцию ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, её можно продолжить бесконечным числом способов на множество ${\displaystyle M\supset X}$, в том числе непрерывным образом. Однако, если функция ${\displaystyle f}$ — аналитическая функция в ${\displaystyle X}$, то существует единственное аналитическое продолжение на ${\displaystyle M}$.