Сумма Гаусса

В математике под суммой Гаусса понимается определенный вид конечных сумм корней из единицы, как правило, записанных в виде

${\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)}$

Здесь сумма берется по всем элементам r некоторого конечного коммутативного кольца R, ψ(r) — гомоморфизм аддитивной группы R⁺ в единичную окружность, и χ(r) — гомоморфизм группы единиц R^× в единичную окружность, расширенную элементом 0. Суммы Гаусса являются аналогом гамма-функций для случая конечных полей.

Эти суммы часто встречаются в теории чисел, в частности, в функциональных уравнениях L-функций Дирихле.

Карл Фридрих Гаусс использовал свойства сумм для решения некоторых задач теории чисел, в частности он применил их в одном из доказательств квадратичного закона взаимности. Первоначально под суммами Гаусса понимались квадратичные суммы Гаусса, для которых R — поле вычетов по модулю p, а χ — символ Лежандра. Для этого случая Гаусс показал, что G(χ) = p^1/2 или ip^1/2, когда p сравнимо с 1 или 3 по модулю 4 соответственно.

Альтернативная форма записи суммы Гаусса:

${\displaystyle \sum e^{\frac {2\pi ir^{2}}{p}}}$

Общая теория сумм Гаусса была разработана в начале XIX века с использованием сумм Якоби и их разложений на простые в круговых полях.

Значение сумм Гаусса для теории чисел было выявлено только в 20-е годы XX века. В это время Герман Вейль применил для исследования равномерных распределений более общие тригонометрические суммы, впоследствии названные суммами Вейля. В то же время И. М. Виноградов использовал суммы Гаусса для получения оценки сверху наименьшего квадратичного невычета по модулю р. Суммы Гаусса позволяют установить связь между двумя важными объектами теории чисел: мультипликативными и аддитивными характерами. Квадратичные суммы Гаусса тесно связаны с теорией θ-функций.

Абсолютное значение сумм Гаусса обычно находят с помощью теоремы Планшереля для конечных групп. В случае, когда R — поле из p элементов и χ нетривиален, абсолютное значение равно p^1/2. Вычисление точного значения общих сумм Гаусса является непростой задачей.

Сумма Гаусса для характера Дирихле по модулю N

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.}$

Если χ — примитивный, то

${\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {N}},}$

и, в частности, не равна нулю. Более общо, если N₀ — кондуктор характера χ и χ₀ — примитивный характер Дирихле по модулю N₀, индуцирующий χ, то

${\displaystyle G(\chi )=\mu (N/N_{0})\chi _{0}(N/N_{0})G(\chi _{0})}$

где μ — функция Мёбиуса.

Из этого следует, что G(χ) не равна нулю тогда и только тогда, когда N/N₀ свободно от квадратов и взаимно просто с N₀.

Выполняется также соотношение

${\displaystyle G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},}$

где χ — комплексное сопряжение характера Дирихле.

Если χ′ — характер Дирихле по модулю N′, такой что N и N′ взаимно просты, то

${\displaystyle G(\chi \chi ^{\prime })=\chi (N^{\prime })\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G(\chi ^{\prime }).}$

• Теорема Чоула–Морделла^[англ.]
• Эллиптическая сумма Гаусса^[англ.]

• Berndt, B. C.^[англ.]; Evans, R. J.; Williams, K. S. Gauss and Jacobi Sums. — Wiley, 1998. — (Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts). — ISBN 0-471-12807-4.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael. A Classical Introduction to Modern Number Theory (англ.). — 2nd. — Springer-Verlag, 1990. — Vol. 84. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-97329-X.
• Section 3.4 of Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004), Analytic number theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 53, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3633-0, MR 2061214, Zbl 1059.11001
• Аrtin E.,Tate J., Class field theory, N. Y.-Amst., 1967;

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел.
• Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей, М., 1956;
• Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971;
• Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971;
• Прахар К. Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967;
• Xассе Г. Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953.

• Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969;
• Серр Ж.-П. Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые, пер. с англ., М., 1973.