Суммирующая функция делителей

Суммирующая функция делителей в теории чисел — функция, являющаяся суммой функции делителей. Функция часто используется для исследования асимптотического поведения дзета-функции Римана. Различные исследования асимптотического поведения функции делителей иногда называют проблемами делителей.

Суммирующая функция делителей определяется как:

${\displaystyle D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1}$,

где

${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1}$ — функция делителей. Функция делителей считает число путей, какими целое число n может быть записано в виде произведения двух целых чисел.

В более общем виде её можно определить как

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)}$,

где d_k(n) определяет число путей представления числа n в виде произведения k чисел. Это число может быть представлено визуально как число узлов решетки, ограниченных гиперболической поверхностью в k измерениях. Тогда, при k=2, D(x)=D₂(x) представляет число точек квадратной решетки, ограниченных осями координат и гиперболой jk = x. Эта фигура грубо может быть представлена как гиперболический симплекс, что позволяет нам получить альтернативный путь для выражения D(x) и более простой путь вычисления за время ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$:

${\displaystyle D(x)=\sum _{k=1}^{x}\lfloor {\frac {x}{k}}\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\lfloor {\frac {x}{k}}\rfloor -u^{2}}$, где ${\displaystyle u=\lfloor {\sqrt {x}}\rfloor }$

Если в этом контексте гиперболу заменить окружностью, получится задача вычисления похожей функции, которая известна как проблема круга Гаусса.

Нахождение законченного выражения для этой суммы выглядит невозможным, но можно дать аппроксимацию, которую несложно найти. Дирихле показал, что

${\displaystyle D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\ }$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони, а неасимптотическая составляющая равна

${\displaystyle \Delta (x)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {x}}\right).}$

Точная формулировка проблемы делителей Дирихле состоит в нахождении нижней грани всех значений ${\displaystyle \theta }$, для которых

${\displaystyle \Delta (x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta +\epsilon }\right)}$

выполняется для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$. К 2006 году проблема оставалась нерешённой.

Секция F1 нерешённых проблем в теории чисел^[1] даёт обзор, что известно и что остается неизвестным о проблеме делителей Дирихле и проблеме круга Гаусса.

• В 1904 году Вороной доказал, что оценка отклонения может быть улучшена до ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x^{1/3}\log x)}$^[2].
• В 1916 году Харди показал, что ${\displaystyle \inf \theta \geq 1/4}$. В частности, он продемонстрировал, что для некоторой постоянной ${\displaystyle K}$, существуют такие x, что ${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4}}$ и такие x, что ${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4}}$^[3].
• В 1922 году Йоханнес ван дер Корпут улучшил оценку Дирихле до ${\displaystyle \inf \theta \leq 33/100.}$
• В 1928 году Йоханнес ван дер Корпут доказал, что ${\displaystyle \inf \theta \leq 27/82.}$
• В 1950 году Чи Цун-тао (Chih Tsung-tao) и, независимо, в 1953 году Ричерт (H. E. Richert) доказали, что ${\displaystyle \inf \theta \leq 15/46.}$
• В 1969 году Григорий Колесник показал, что ${\displaystyle \inf \theta \leq 12/37}$
• В 1973 году Григорий Колесник показал, что ${\displaystyle \inf \theta \leq 346/1067}$.
• В 1982 году Григорий Колесник показал, что ${\displaystyle \inf \theta \leq 35/108}$.
• В 1988 году Г. Иванец и Модзоки (C. J. Mozzochi) доказали, что ${\displaystyle \inf \theta \leq 7/22}$^[4].
• В 2003 году Мартин Хаксли улучшил оценку показав, что ${\displaystyle \inf \theta \leq 131/416}$^[5].

Таким образом, истинное значение ${\displaystyle \inf \theta }$ лежит где-то между 1/4 и 131/416 (примерно 0,3149). Широко распространена гипотеза, что значение равно в точности 1/4. Прямые вычисления ${\displaystyle \Delta (x)}$ приводят к этой гипотезе, поскольку ${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4}}$ оказывается почти нормальным распределением с дисперсией 1 для x вплоть до 10¹⁶.

В обобщённом случае

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)}$

где ${\displaystyle P_{k}}$ — многочлен степени ${\displaystyle k-1}$.

Используя простые оценки можно показать, что

${\displaystyle \Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)}$

для целых ${\displaystyle k\geq 2}$. Как и в случае ${\displaystyle k=2}$, нижняя граница неизвестна. Если обозначить через ${\displaystyle \theta _{k}}$ минимальное значение, для которого выполняется

${\displaystyle \Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta _{k}+\varepsilon }\right)}$

для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$, то известны следующие результаты:

• Вороной и Ландау: ${\displaystyle \theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+1}}}$ для ${\displaystyle k=2,3,\ldots }$
• Харди и Литтлвуд: ${\displaystyle \theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+2}}}$ для ${\displaystyle k=4,5,\ldots }$
• Харди показал, что ${\displaystyle \theta _{k}\geq {\frac {k-1}{2k}}}$ для ${\displaystyle k=2,3,\ldots }$
• Титчмарш предположил, что ${\displaystyle \theta _{k}={\frac {k-1}{2k}}}$.

Оба члена можно выразить через преобразование Меллина:

${\displaystyle D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

для ${\displaystyle c>1}$. Здесь, ${\displaystyle \zeta (s)}$ — дзета-функции Римана.

Подобным же образом

${\displaystyle \Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

с ${\displaystyle 0<c^{\prime }<1}$. Асимптотический член ${\displaystyle D(x)}$ получается сдвигом контура за двойную особую точку ${\displaystyle w=1}$: асимптотический член — это просто вычет (по интегральной формуле Коши).

В общем случае

${\displaystyle D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

и то же самое для ${\displaystyle \Delta _{k}(x)}$, for ${\displaystyle k\geq 2}$.

• Гарольд Эдвардс. Riemann’s Zeta Function'. — Dover Publications, 1974. — ISBN 0-486-41740-9.
• E. C. Titchmarsh. chapter 12 for a discussion of the generalized divisor problem // The theory of the Riemann Zeta-Function. — Oxford: Oxford at the Clarendon Press, 1951.
• Apostol, Tom M. Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. — ISBN 978-0-387-90163-3.. Дает введение в проблему Дирихле о делителях.
• H. E. Rose. A Course in Number Theory. — Oxford, 1988.
• Мартин Хаксли. Exponential Sums and Lattice Points III // Proc. London Math. Soc. — 2003. — Т. 87, № 3. — С. 591—609.