Суперформула (уравнение)

Некоторые примеры суперформулы: a = b = 1; m, n₁,n₂ и n₃ , указаны под изображениями

Суперформула является обобщением суперэллипса и впервые была выведена Йоханом Гиелисом в 2003 году.^[1] Гиелис предположил использовать формулу для описания сложных форм и кривых, которые встречаются в природе.

В полярной системе координат с радиусом $r$ и углом $\varphi$ суперформула выглядит так:

r\left(\varphi \right)=\left(\left|{\frac {\cos \left({\frac {m\varphi }{4}}\right)}{a}}\right|^{n_{2}}+\left|{\frac {\sin \left({\frac {m\varphi }{4}}\right)}{b}}\right|^{n_{3}}\right)^{-{\frac {1}{n_{1}}}}.

Выбирая различные значения параметров $a,b,m,n_{1},n_{2},n_{3}$ , получаются различные формы.

Формула получена путём обобщения суперэллипса, который, в свою очередь, был выведен французским математиком Габриелем Ламе, а назван и популяризирован датским математиком Питом Хейном.

Обобщение

Суперформулу можно обобщить, заменив параметр m двумя новыми параметрами y и z:^[2]

r\left(\varphi \right)=\left(\left|{\frac {\cos \left({\frac {y\varphi }{4}}\right)}{a}}\right|^{n_{2}}+\left|{\frac {\sin \left({\frac {z\varphi }{4}}\right)}{b}}\right|^{n_{3}}\right)^{-{\frac {1}{n_{1}}}}

Это позволяет создавать асимметричные и вложенные структуры. В следующих примерах $a,b,n_{2}$ и ${n_{3}}$ равны 1:

Построения

Пример программы в GNU Octave для генерации этих фигур:

  function sf2d(n,a)
    u=[0:.001:2*pi];
    raux=abs(1/a(1).*abs(cos(n(1)*u/4))).^n(3)+abs(1/a(2).*abs(sin(n(1)*u/4))).^n(4);
    r=abs(raux).^(-1/n(2));
    x=r.*cos(u);
    y=r.*sin(u);
    plot(x,y);
  end

3 мерная суперформула: a = b = 1; m, n₁, n₂ И n₃ , показаны на изображениях.

Пример программы в GNU Octave для генерации этих фигур:

 function sf3d(n, a)
  u=[-pi:.05:pi];
  v=[-pi/2:.05:pi/2];
  nu=length(u);
  nv=length(v);
    for i=1:nu
    for j=1:nv
      raux1=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1).*u(i)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*u(i)/4))).^n(4);
      r1=abs(raux1).^(-1/n(2));
      raux2=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1)*v(j)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*v(j)/4))).^n(4);
      r2=abs(raux2).^(-1/n(2));
      x(i,j)=r1*cos(u(i))*r2*cos(v(j));
      y(i,j)=r1*sin(u(i))*r2*cos(v(j));
      z(i,j)=r2*sin(v(j));
    endfor;
  endfor;
  mesh(x,y,z);
 endfunction;

Примечания

↑ Gielis, Johan (2003), "A generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes", American Journal of Botany, 90 (3): 333—338, doi:10.3732/ajb.90.3.333, ISSN 0002-9122, Архивировано из оригинала 13 сентября 2010, Дата обращения: 20 мая 2016
↑ Stöhr, Uwe (2004), SuperformulaU (PDF), Архивировано из оригинала (PDF) 16 июня 2016, Дата обращения: 20 мая 2016

Ссылки

Сайт о суперформуле и её создателе Джоне Гиелисе http://genicap.com/

Кривые

Определения

Преобразованные

Неплоские

Плоские
алгебраические

Конические сечения

3-й порядок (Кубика)

Эллиптические	Эллиптическая кривая Эллиптические функции Якоби Эллиптический интеграл Эллиптические функции
Другие	Аньезиана Декартов лист Трисектриса Маклорена Чирнгауза Офиурида Строфоида Полукубическая парабола Трезубец Циссоида Диокла

4-й порядок

Лемнискаты

Аппроксимационные

Циклоидальные

Другие

Кривая Ферма

Плоские
трансцендентные

Спирали	Архимедова Ферма Галилея Гиперболическая «Жезл» Золотая Клотоида Логарифмическая Синусоидальная
Циклоидальные	Трохоида Циклоида Эпитрохоида Эпициклоида Гипотрохоида Гипоциклоида Квазитрохоида «Роза» Квадрифолий Скорейшего спуска (брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса Кохлеоида Погони Трактриса Трохоида Цепная линия перевёрнутая арочная Постоянной ширины Синусоида Рибокура Суперформула Суперэллипс Треугольник Рёло многоугольник Фигуры Лиссажу

Фрактальные

Простые	Гильберта Госпера Кривая дракона Коха Леви Минковского Пеано Серпинского
Топологические	Салфетка Серпинского Ковёр Серпинского Губка Менгера Круговой фрактал Ковёр Аполлония

Похожие исследовательские статьи

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

<span class="mw-page-title-main">Эллипс</span> кривая второго порядка

Э́ллипс — замкнутая плоская кривая, исторически определённая как одно из конических сечений . Название эллипсу дал Аполлоний Пергский в своей «Конике».

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Декартов лист — плоская алгебраическая кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе $\text{[math]}$ . Параметр $\text{[math]}$ определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по $\text{[math]}$ , а ось ординат по $\text{[math]}$ , на отрезке $\text{[math]}$ , как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке $\text{[math]}$ проводится касательная $\text{[math]}$ . Из точки $\text{[math]}$ проводится произвольная прямая $\text{[math]}$ , которая пересекает окружность в точке $\text{[math]}$ и касательную в точке $\text{[math]}$ . От точки $\text{[math]}$ , в направлении точки $\text{[math]}$ , откладывается отрезок $\text{[math]}$ , длина которого равна длине отрезка $\text{[math]}$ . При вращении линии $\text{[math]}$ вокруг точки $\text{[math]}$ , точка $\text{[math]}$ описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Эпицикло́ида — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.

Класс трёхмерных параметрических поверхностей определяется функцией $\text{[math]}$ , зависящей от $\text{[math]}$ параметров и отображающей некоторое связное множество $\text{[math]}$ из n-мерного пространства в трёхмерное пространство таким образом, что это отображение является поверхностью. Эта функция $\text{[math]}$ задаёт класс поверхностей, а набор $\text{[math]}$ параметров — конкретную поверхность из этого класса.

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями . Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

\text{[math]}

Поля́рная систе́ма координа́т — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ следующими выражениями:

\text{[math]}

\text{[math]}

Угловое ускорение — псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени

А́том водоро́да — физико-химическая система, состоящая из атомного ядра, несущего элементарный положительный электрический заряд, и электрона, несущего элементарный отрицательный электрический заряд. В состав атомного ядра, как правило, входит протон или протон с одним или несколькими нейтронами, образуя изотопы водорода. Электрон образует электронную оболочку; наибольшая вероятность обнаружения электрона в единичном объёме наблюдается для центра атома. Интегрирование по сферическому слою показывает, что наибольшая вероятность обнаружения электрона в единичном слое соответствует среднему радиусу, равному боровскому радиусу $\text{[math]}$ ангстрема.

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция $\text{[math]}$ над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

\text{[math]}

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.

<span class="mw-page-title-main">Суперквадрики</span>

Суперквадрики — семейство геометрических поверхностей, определяемых уравнением эллипсоида и других поверхностей второго порядка, где показатели степени 2 заменены произвольным числом. Их можно считать трёхмерными аналогами кривых Ламе (суперэллипсов).

Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.

Векторными сферическими гармониками являются векторные функции, преобразующиеся при вращениях системы координат так же, как скалярные сферические функции с теми же индексами, или определенные линейные комбинации таких функций.

<span class="mw-page-title-main">Изгиб пластин</span>

Изгиб пластин в теории упругости относится к расчёту деформаций в пластинах, под действием перпендикулярных к плоскости пластины внешних сил и моментов. Величину отклонения можно определить, решив дифференциальные уравнения соответствующей теории пластин в зависимости от допущений на малость тех или иных параметров. По этим прогибам можно рассчитать напряжения в пластине. При известных напряжениях можно использовать теорию разрушения, чтобы определить, нарушение целостности плиты при данной нагрузке. Деформация пластины является функцией двух координат, поэтому теория пластин формулируется в общем случае в терминах дифференциальных уравнений в двумерном пространстве. Также считается, что пластина изначально имеет плоскую форму.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.