Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент решённой задачей тысячелетия.
Стягиваемое пространство — топологическое пространство, гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на 
гомотопно постоянному.
Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.
Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.
Тео́рия Мо́рса — математическая теория, разработанная в 1920-е — 1930-е годы Марстоном Морсом, связывающая алгебро-топологические свойства многообразий и поведение гладких функций на нём в критических точках.
Многообра́зие — локально евклидово пространство.
Класс Понтрягина — характеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений. Понятие введено в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным.
Шершавое или несглаживаемое многообразие — топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры. Более точно, топологическое многообразие не гомеоморфное никакому гладкому многообразию.
Теорема Новикова о компактном слое: Двумерное слоение на трехмерном многообразии с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.
Трёхмерная сфе́ра — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.
Душа риманова многообразия 
— компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие, являющееся его деформационным ретрактом.
Экзотическая сфера — гладкое многообразие М, которое гомеоморфно, но не диффеоморфно стандартной n-сфере.
Теорема о сфере — общее название теорем, дающих достаточные условия на риманову метрику, гарантирующие гомеоморфность или диффеоморфность многообразия стандартной сфере.
Гладкие структуры на четырёхмерном евклидовом пространстве — примеры гладких многообразий гомеоморфных, но не обязательно диффеоморфных четырёхмерному евклидову пространству.
Поверхности Долгачёва — это определённые односвязные эллиптические поверхности, введённые Долгачёвым. Их можно использовать для получения примеров бесконечного семейства гомеоморфных односвязных компактных 4-многообразий, никакие два из которых не диффеоморфны.
Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация
Маломерная топология — направление в топологии, изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии.
