Сферический дизайн

Сферическая дизайн — набор из $N$ точек на d-мерной сфере $\mathbb {S} ^{d}$ , такой, что среднее значение любого многочлена $f$ степени $t$ или меньше по точкам набора равно среднему значению $f$ по сфере. Эта конструкция даёт особый тип кубатурных формул.

Сферические дизайны полезны в теории приближений, в статистике для проектирования экспериментов, в комбинаторике и в геометрии. Основная вопрос в нахождении примеров для данных $d$ и $t$ , при не слишком большом $N$ .

Существование

Существование и структура дизайнов на окружности изучались Хонгом^[1]. Вскоре после этого Сеймур и Заславский^[2] доказали, существование дизайнов с достаточно большим числом точек. То есть при заданных натуральных числах $d$ и $t$ существует число $N(d,t)$ , такое, что для каждого $N\geqslant N(d,t)$ на $\mathbb {S} ^{d}$ найдётся сферический $t$ -дизайн из $N$ точек. Однако их доказательство не позволяло явно оценить значение $N(d,t)$ .

В 2013 году Бондаренко, Радченко и Вязовская ^[3] получили асимптотическую верхнюю границу $N(d,t)<C_{d}t^{d}$ для всех натуральных чисел $d$ и $t$ . Она соответствует нижней границе, первоначально заданной Дельсартом, Геталсом и Зайделем.

См. также

Задача Томсона

Внешние ссылки

Сферические t-дизайны для различных значений $N$ и $t$ можно найти на веб-сайте Нила Слоуна и Роберта Уомерсли.

Примечания

↑ Hong, 1982.
↑ Seymour, Zaslavsky, 1984.
↑ Bondarenko, Radchenko, Viazovska, 2013.

Ссылки

Bondarenko, Andriy; Radchenko, Danylo; Viazovska, Maryna (2013), "Optimal asymptotic bounds for spherical designs", Annals of Mathematics, Second Series, 178 (2): 443—452, arXiv:1009.4407, doi:10.4007/annals.2013.178.2.2, MR 3071504, S2CID 2490453.
Mimura, Yoshio (1990), "A construction of spherical 2-design", Graphs and Combinatorics, 6 (4): 369—372, doi:10.1007/BF01787704, S2CID 28942727.
Delsarte, P.; Goethals, J. M.; Seidel, J. J. (1977), "Spherical codes and designs", Geometriae Dedicata, 6 (3): 363—388, doi:10.1007/BF03187604, MR 0485471, S2CID 125833142. Reprinted in Seidel, J. J. (1991), Geometry and combinatorics: Selected works of J. J. Seidel, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-189420-7, MR 1116326.
Hong, Yiming (1982), "On spherical t-designs in $\mathbb {R} ^{2}$ ", European Journal of Combinatorics, 3 (3): 255—258, doi:10.1016/S0195-6698(82)80036-X, MR 0679209 {{citation}}: templatestyles stripmarker в |title= на позиции 14 ().
Seymour, P. D.; Zaslavsky, Thomas (1984), "Averaging sets: a generalization of mean values and spherical designs", Advances in Mathematics, 52 (3): 213—240, doi:10.1016/0001-8708(84)90022-7, MR 0744857.

Похожие исследовательские статьи

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое $\text{[math]}$ -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в $\text{[math]}$ -мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Блок-схема — это множество вместе с семейством подмножеств, члены которого удовлетворяют некоторым свойствам, которые считаются полезными для конкретного приложения. Эти приложения приходят из разных областей, включая планирование эксперимента, конечную геометрию, тестирование программного обеспечения, криптографию и алгебраическую геометрию. Рассматривалось много вариантов, но наиболее интенсивно изучались сбалансированные неполные блок-схемы, которые исторически были связаны со статистическими задачами при планировании эксперимента.

Критической точкой дифференцируемой функции $\text{[math]}$ называется точка, в которой её дифференциал обращается в нуль. Это условие эквивалентно тому, что в данной точке все частные производные первого порядка обращаются в нуль, геометрически оно означает, что касательная гиперплоскость к графику функции горизонтальна. В простейшем случае n=1 это значит, что производная $\text{[math]}$ в данной точке равна нулю. Это условие является необходимым для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума дифференцируемой функции.

Пучок — структура, используемая для установления отношений между локальными и глобальными свойствами или характеристиками некоторого математического объекта. Пучки играют значительную роль в топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, но также применяются в теории чисел, анализе и теории категорий.

Унимодулярная решётка — целая решётка с определителем $\text{[math]}$ . Последнее эквивалентно тому, что объём фундаментальной области решётки равен $\text{[math]}$ .

Алгоритм Берлекэмпа — Рабина — вероятностный метод нахождения корней многочленов над полем $\text{[math]}$ с полиномиальной сложностью. Метод был описан американским математиком Элвином Берлекэмпом в 1970 году в качестве побочного к алгоритму факторизации многочленов над конечными полями и позже был доработан Михаэлем Рабином для случая произвольных конечных полей. Изначальная версия алгоритма, предложенная Берлекэмпом в 1967 году, не была полиномиальной. Опубликованная в 1970 году на основе результатов Цассенхауза версия алгоритма работала с большими значениями $\text{[math]}$ , в ней заглавный метод использовался в качестве вспомогательного. На момент публикации метод был распространён в профессиональной среде, однако редко встречался в литературе.

В математике конференс-матрица (также называемая C-матрица, конференц-матрица) — это квадратная матрица C с нулями на диагонали, и с +1 и −1 вне диагонали такая, что C^TC кратна единичной матрице I. Таким образом, если матрица C имеет порядок n, то C^TC = (n−1)I. Некоторые авторы дают более общее определение, требуя наличия нуля в каждой строке и в каждом столбце, но не обязательно на диагонали.

Рациональная нормальная кривая — гладкая рациональная кривая степени n в n-мерном проективном пространстве $\text{[math]}$ Она является одним из сравнительно простых проективных многообразий, более формально, она является образом вложения Веронезе, применённого к проективной прямой.

<span class="mw-page-title-main">Задача об иголке</span>

Задача об иголке состоит в определении минимальной площади фигуры на плоскости, в которой единичный отрезок, «иглу», можно развернуть на 180 градусов, вернув его в исходное положение с обращённой ориентацией. Такое возможно проделать в круге радиуса 1/2. Другой пример — фигура, ограниченная дельтоидой, — показан на картинке, он имеет меньшую площадь.

Экзотическая сфера — гладкое многообразие М, которое гомеоморфно, но не диффеоморфно стандартной n-сфере.

Характеризация запрещёнными графами — это метод описания семейства графов или гиперграфов путём указания подструктур, которым запрещено появляться внутри любого графа в семействе.

Концентрация меры — принцип, согласно которому при определённых достаточно общих и не слишком обременительных ограничениях значение функции большого числа переменных почти постоянно. Например, большинство пар точек на единичной сфере большой размерности находятся на расстоянии, близком к $\text{[math]}$ друг от друга.

Теория комбинаторных схем — это часть комбинаторики, рассматривающая существование, построение и свойства семейств конечных множеств, структура которых удовлетворяет обобщённым концепциям равновесия и/или симметрии. Эти концепции не определены точно, так что объекты широкого диапазона могут пониматься как комбинаторные схемы. Так, в одном случае комбинаторные схемы могут представлять собой пересечения множеств чисел, как в блок-схемах, а в другом случае могут отражать расположение элементов в судоку.

Теорема Рота — результат аддитивной комбинаторики, частный случай теоремы Семереди для прогрессий длины 3; утверждает присутствие арифметических прогрессий $\text{[math]}$ в любых достаточно плотных множествах.

Гипотезы Вейля — математические гипотезы о локальных дзета-функциях проективных многообразий над конечными полями.

Онлайновое машинное обучение — это метод машинного обучения, в котором данные становятся доступными в последовательном порядке и используются для обновления лучшего предсказания для последующих данных, выполняемого на каждом шаге обучения. Метод противоположен пакетной технике обучения, в которой лучшее предсказание генерируется за один раз, исходя из полного тренировочного набора данных. Онлайновое обучение является общей техникой, используемой в областях машинного обучения, когда невозможна тренировка по всему набору данных, например, когда возникает необходимость в алгоритмах, работающих с внешней памятью. Метод используется также в ситуациях, когда алгоритму приходится динамически приспосабливать новые схемы в данных или когда сами данные образуются как функция от времени, например, при предсказании цен на фондовом рынке. Алгоритмы онлайнового обучения могут быть склонны к катастрофическим помехам, проблеме, которая может быть решена с помощью подхода пошагового обучения.

Граф Геймса — это наибольший из известных локально линейных сильно регулярных графов. Его параметры как сильно регулярного графа равны (729,112,1,20). Это значит, что граф имеет 729 вершин и 40824 рёбер. Каждое ребро находится в единственном треугольнике и каждая несмежная пара вершин имеет в точности 20 общих соседей. Граф назван именем Ричарда А. Геймса, который предложил его построение в неопубликованной переписке и написал о связанных конструкциях.

Неравенство Фишера — это необходимое условие существования сбалансированной неполной блок-схемы, то есть системы подмножеств, которые удовлетворяют определённым предписанным условиям в комбинаторной математике. Неравенство описал Рональд Фишер, специалист по популяционной генетике и статистике, который изучал планирование эксперимента, изучая различия среди некоторых отличающихся разновидностей растений при различных условиях произрастания, называемых блоками.

Пространство циклов неориентированного графа — линейное пространство над полем $\text{[math]}$ , состоящее из его эйлеровых подграфов. Размерность этого пространства называется контурным рангом графа. С точки зрения алгебраической топологии циклическое пространство является первой группой гомологий графа.

Асимптотическая размерность метрического пространства — аналог размерности Лебега на большой шкале. Асимптотическая размерность имеет важные приложения в геометрическом анализе и теории индексов.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.