Схема Бернулли

Проводятся ${\displaystyle n}$ опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью ${\displaystyle p}$ (или не произойти — «неудача» — с вероятностью ${\displaystyle q=1-p}$). Задача — найти вероятность получения ровно ${\displaystyle m}$ успехов в этих ${\displaystyle n}$ опытах.

Решение:

${\displaystyle P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{n-m}}$ (формула Бернулли).

Количество успехов — величина случайная, которая имеет биномиальное распределение.

Для применения схемы Бернулли должны быть выполнены следующие условия:

• Каждое испытание имеет ровно два исхода, условно называемых успехом и неудачей.
• Независимость испытаний: результат очередного эксперимента не должен зависеть от результатов предыдущих экспериментов.
• Вероятность успеха должна быть постоянной (фиксированной) для всех испытаний.

Рассмотрим стохастический эксперимент с двухэлементным пространством элементарных событий. Одно назовём «успехом», обозначим «1», другое — «неудачей», обозначим «0». Пусть вероятность успеха ${\displaystyle 0<p<1}$, тогда вероятность неудачи ${\displaystyle 1-p=q}$.

Рассмотрим новый стохастический эксперимент, который состоит в ${\displaystyle n}$-кратном повторении этого простейшего стохастического эксперимента.

Понятно, что пространство элементарных событий ${\displaystyle \Omega }$, которое отвечает этому новому стохастическому эксперименту будет ${\displaystyle \left\{\Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}={\overline {0,1}},i={\overline {1,n}}\right\rbrace }$ (1), ${\displaystyle N(\Omega )=2^{n}}$. За ${\displaystyle \sigma }$-алгебру событий ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ возьмём булеан пространства элементарных событий ${\displaystyle P(\Omega )}$ (2). Каждому элементарному событию ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ поставим в соответствие число ${\displaystyle p(\omega )=p^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}q^{n-\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$. Если в элементарном событии ${\displaystyle \omega }$ успех наблюдается ${\displaystyle k}$ раз, а неудача — ${\displaystyle (n-k)}$ раз, то ${\displaystyle p(\omega )=p^{k}q^{n-k}}$. Пусть ${\displaystyle A_{k}=\{\omega \in \Omega |\sum _{i=1}^{n}a_{i}=k\},k={\overline {0,n}}}$, тогда ${\displaystyle P(A_{k})=\sum _{\omega \in A_{k}}P(\omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}}$. Также является очевидной нормированность вероятности: ${\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }P(\omega )=\sum _{k=0}^{n}\sum _{\omega \in A_{k}}P(\omega )=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=1^{n}=1}$.

Поставив в соответствие каждому событию ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ числовое значение ${\displaystyle P(A)=\sum _{\omega \in A}P(\omega )}$ (3), мы найдём вероятность ${\displaystyle P:{\mathcal {A}}\to \mathbb {R} }$. Построенное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$, где ${\displaystyle \Omega }$ — пространство элементарных событий, определённое равенством (1), ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, определённая равенством (2), P — вероятность, определённая равенством (3), называется схемой Бернулли для ${\displaystyle n}$ испытаний.

Набор чисел ${\displaystyle P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},k={\overline {0,n}},n\in \mathbb {N} }$ называется биномиальным распределением.

Обычная формула Бернулли применима на случай, когда при каждом испытании возможно одно из двух событий. Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из ${\displaystyle k>2}$ событий с вероятностью ${\displaystyle p_{i}(i=1,2,...,k)}$, где ${\displaystyle p_{1}+...+p_{k}=1}$. Вероятность появления ${\displaystyle m_{1}}$ раз первого события и ${\displaystyle m_{2}}$ — второго и ${\displaystyle m_{k}}$ раз k-го находится по формуле:

${\displaystyle P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={\frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k}!}}{p_{1}}^{m_{1}}{p_{2}}^{m_{2}}...{p_{k}}^{m_{k}}}$,

где ${\displaystyle n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.}$

В особых условиях (при достаточно больших или достаточно малых параметрах) для схемы Бернулли используются приближенные формулы из предельных теорем: теорема Пуассона, локальная теорема Муавра — Лапласа, интегральная теорема Муавра — Лапласа.

• Последовательность испытаний (схема Бернулли)