Схема Эль-Гамаля

Схема Эль-Гамаля (Elgamal) — криптосистема с открытым ключом, основанная на трудности вычисления дискретных логарифмов в конечном поле. Криптосистема включает в себя алгоритм шифрования и алгоритм цифровой подписи. Схема Эль-Гамаля лежит в основе бывших стандартов электронной цифровой подписи в США (DSA) и России (ГОСТ Р 34.10-94).

Схема была предложена Тахером Эль-Гамалем в 1985 году^[1]. Эль-Гамаль разработал один из вариантов алгоритма Диффи-Хеллмана. Он усовершенствовал систему Диффи-Хеллмана и получил два алгоритма, которые использовались для шифрования и для обеспечения аутентификации. В отличие от RSA, алгоритм Эль-Гамаля не был запатентован и поэтому стал более дешёвой альтернативой, так как не требовалось оплаты взносов за лицензию. Считается, что алгоритм попадает под действие патента Диффи-Хеллмана.

1. Генерируется случайное простое число ${\displaystyle p}$.
2. Выбирается целое число ${\displaystyle g}$ — первообразный корень ${\displaystyle p}$.
3. Выбирается случайное целое число ${\displaystyle x}$ такое, что ${\displaystyle (1<x<p-1)}$.
4. Вычисляется ${\displaystyle y=g^{x}{\bmod {p}}}$.
5. Открытым ключом является ${\displaystyle (y,g,p)}$, закрытым ключом — число ${\displaystyle x}$.

Шифросистема Эль-Гамаля является фактически одним из способов выработки открытых ключей Диффи — Хеллмана.^[] Шифрование по схеме Эль-Гамаля не следует путать с алгоритмом цифровой подписи по схеме Эль-Гамаля.

Сообщение ${\displaystyle M}$ должно быть меньше числа ${\displaystyle p}$. Сообщение шифруется следующим образом:

1. Выбирается сессионный ключ — случайное целое число, ${\displaystyle k}$ такое, что ${\displaystyle 1<k<p-1}$.
2. Вычисляются числа ${\displaystyle a=g^{k}{\bmod {p}}}$ и ${\displaystyle b=y^{k}M{\bmod {p}}}$.
3. Пара чисел ${\displaystyle (a,b)}$ является шифротекстом.

Нетрудно заметить, что длина шифротекста в схеме Эль-Гамаля вдвое больше исходного сообщения ${\displaystyle M}$.

Зная закрытый ключ ${\displaystyle x}$, исходное сообщение можно вычислить из шифротекста ${\displaystyle (a,b)}$ по формуле:

${\displaystyle M=b(a^{x})^{-1}{\bmod {p}}.}$

При этом нетрудно проверить, что

${\displaystyle (a^{x})^{-1}=g^{-kx}{\bmod {p}}}$

и поэтому

${\displaystyle b(a^{x})^{-1}=(y^{k}M)g^{-xk}\equiv (g^{xk}M)g^{-xk}\equiv M{\pmod {p}}}$.

Для практических вычислений больше подходит следующая формула:

${\displaystyle M=b(a^{x})^{-1}=ba^{(p-1-x)}{\pmod {p}}}$

• Шифрование
  1. Допустим, что нужно зашифровать сообщение ${\displaystyle M=5}$.
  2. Произведем генерацию ключей:
     1. Пусть ${\displaystyle p=11,g=2}$. Выберем ${\displaystyle x=8}$ — случайное целое число ${\displaystyle x}$ такое, что ${\displaystyle 1<x<p}$.
     2. Вычислим ${\displaystyle y=g^{x}{\bmod {p}}=2^{8}{\bmod {11}}=3}$.
     3. Итак, открытым ключом является тройка ${\displaystyle (p,g,y)=(11,2,3)}$,а закрытым ключом — число ${\displaystyle x=8}$.
  3. Выбираем случайное целое число ${\displaystyle k}$ такое, что 1 < k < (p − 1). Пусть ${\displaystyle k=9}$.
  4. Вычисляем число ${\displaystyle a=g^{k}{\bmod {p}}=2^{9}{\bmod {11}}=512{\bmod {11}}=6}$.
  5. Вычисляем число ${\displaystyle b=y^{k}M{\bmod {p}}=3^{9}5{\bmod {11}}=19683\cdot 5{\bmod {11}}=9}$.
  6. Полученная пара ${\displaystyle (a,b)=(6,9)}$ является шифротекстом.
• Расшифрование
  1. Необходимо получить сообщение ${\displaystyle M=5}$ по известному шифротексту ${\displaystyle (a,b)=(6,9)}$ и закрытому ключу ${\displaystyle x=8}$.
  2. Вычисляем M по формуле: ${\displaystyle M=b(a^{x})^{-1}{\bmod {p}}=9(6^{8})^{-1}\mod {11}=5}$
  3. Получили исходное сообщение ${\displaystyle M=5}$.

Так как в схему Эль-Гамаля вводится случайная величина ${\displaystyle k}$,то шифр Эль-Гамаля можно назвать шифром многозначной замены. Из-за случайности выбора числа ${\displaystyle k}$ такую схему ещё называют схемой вероятностного шифрования. Вероятностный характер шифрования является преимуществом для схемы Эль-Гамаля, так как у схем вероятностного шифрования наблюдается большая стойкость по сравнению со схемами с определённым процессом шифрования. Недостатком схемы шифрования Эль-Гамаля является удвоение длины зашифрованного текста по сравнению с начальным текстом. Для схемы вероятностного шифрования само сообщение ${\displaystyle M}$ и ключ не определяют шифротекст однозначно. В схеме Эль-Гамаля необходимо использовать различные значения случайной величины ${\displaystyle k}$ для шифровки различных сообщений ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$. Если использовать одинаковые ${\displaystyle k}$, то для соответствующих шифротекстов ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (a',b')}$ выполняется соотношение ${\displaystyle b(b')^{-1}=M(M')^{-1}}$. Из этого выражения можно легко вычислить ${\displaystyle M'}$, если известно ${\displaystyle M}$.

Цифровая подпись служит для того чтобы можно было установить изменения данных и чтобы установить подлинность подписавшейся стороны. Получатель подписанного сообщения может использовать цифровую подпись для доказательства третьей стороне того, что подпись действительно сделана отправляющей стороной. При работе в режиме подписи предполагается наличие фиксированной хеш-функции ${\displaystyle h(\cdot )}$, значения которой лежат в интервале ${\displaystyle \left(1,p-1\right)}$.

Для подписи сообщения ${\displaystyle M}$ выполняются следующие операции:

1. Вычисляется дайджест сообщения ${\displaystyle M}$: ${\displaystyle m=h(M).}$(Хеш функция может быть любая).
2. Выбирается случайное число ${\displaystyle 1<k<p-1}$ взаимно простое с ${\displaystyle p-1}$ и вычисляется ${\displaystyle r=g^{k}\,{\bmod {\,}}p.}$
3. Вычисляется число ${\displaystyle s\,=\,(m-xr)k^{-1}{\pmod {p-1}}}$, где ${\displaystyle k^{-1}}$ это мультипликативное обратное ${\displaystyle k}$ по модулю ${\displaystyle p-1}$, которое можно найти, например, с помощью расширенного алгоритма Евклида.
4. Подписью сообщения ${\displaystyle M}$ является пара ${\displaystyle \left(r,s\right)}$.

Зная открытый ключ ${\displaystyle \left(p,g,y\right)}$, подпись ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ сообщения ${\displaystyle M}$ проверяется следующим образом:

1. Проверяется выполнимость условий: ${\displaystyle 0<r<p}$ и ${\displaystyle 0<s<p-1}$.
2. Если хотя бы одно из них не выполняется, то подпись считается неверной.
3. Вычисляется дайджест ${\displaystyle m=h(M).}$
4. Подпись считается верной, если выполняется сравнение:

   ${\displaystyle y^{r}r^{s}\equiv g^{m}{\pmod {p}}.}$

Рассматриваемый алгоритм корректен в том смысле, что подпись, вычисленная по указанным выше правилам, будет принята при её проверке.

Преобразуя определение ${\displaystyle s}$, имеем

${\displaystyle m\,\equiv \,xr+sk{\pmod {p-1}}.}$

Далее, из Малой теоремы Ферма следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{m}&\equiv g^{xr}g^{ks}\\&\equiv (g^{x})^{r}(g^{k})^{s}\\&\equiv (y)^{r}(r)^{s}{\pmod {p}}.\\\end{aligned}}}$

• Подпись сообщения.
  1. Допустим, что нужно подписать сообщение ${\displaystyle M=baaqab}$.
  2. Произведем генерацию ключей:
     1. Пусть ${\displaystyle p=23}$ ${\displaystyle g=5}$ переменные, которые известны некоторому сообществу.
     2. Секретный ключ ${\displaystyle x=7}$ — случайное целое число ${\displaystyle x}$ такое, что ${\displaystyle 1<x<p}$.
     3. Вычисляем открытый ключ ${\displaystyle y}$: ${\displaystyle y=g^{x}{\bmod {p}}=5^{7}{\bmod {2}}3=17}$.
     4. Итак, открытым ключом является тройка ${\displaystyle (p,g,y)=(23,5,17)}$.
  3. Теперь вычисляем хеш-функцию: ${\displaystyle h(M)=h(baaqab)=m=3}$.
  4. Выберем случайное целое число ${\displaystyle k}$ такое, что выполняется условие ${\displaystyle 1<k<p-1}$. Пусть ${\displaystyle k=5}$.
  5. Вычисляем ${\displaystyle r=g^{k}{\bmod {p}}=5^{5}{\bmod {2}}3=20}$.
  6. Находим ${\displaystyle k^{-1}}$. Такое число существует, так как НОД${\displaystyle (k,p-1)=1}$. Его можно найти с помощью расширенного алгоритма Евклида. Получим ${\displaystyle k^{-1}=5^{-1}{\pmod {22}}=9}$
  7. Находим число ${\displaystyle s\,\equiv \,(m-xr)k^{-1}{\pmod {p-1}}}$. Получим ${\displaystyle s=21}$, так как ${\displaystyle s=\,(3-7\cdot 20)5^{-1}{\pmod {22}}=21}$
  8. Итак, мы подписали сообщение: ${\displaystyle <baaqab,20,21>}$.

• Проверка подлинности полученного сообщения.
  1. Вычисляем хеш-функцию: ${\displaystyle h(M)=h(baaqab)=m=3}$.
  2. Проверяем сравнение ${\displaystyle y^{r}\cdot r^{s}{\pmod {p}}\equiv g^{m}{\pmod {p}}}$.
  3. Вычислим левую часть по модулю 23: ${\displaystyle 17^{20}\cdot 20^{21}{\bmod {2}}3=16\cdot 15{\bmod {2}}3=10}$.
  4. Вычислим правую часть по модулю 23: ${\displaystyle 5^{3}{\bmod {2}}3=10}$.
  5. Так как правая и левая части равны, то это означает что подпись верна.

Главным преимуществом схемы цифровой подписи Эль-Гамаля является возможность вырабатывать цифровые подписи для большого числа сообщений с использованием только одного секретного ключа. Чтобы злоумышленнику подделать подпись, ему нужно решить сложные математические задачи с нахождением логарифма в поле ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. Следует сделать несколько комментариев:

• Случайное число ${\displaystyle k}$ должно сразу после вычисления подписи уничтожаться, так как если злоумышленник знает случайное число ${\displaystyle k}$ и саму подпись, то он легко может найти секретный ключ по формуле: ${\displaystyle x=(m-ks)r^{-1}{\bmod {(}}p-1)}$ и полностью подделать подпись.

Число ${\displaystyle k}$ должно быть случайным и не должно дублироваться для различных подписей, полученных при одинаковом значении секретного ключа.

• Использование свертки ${\displaystyle m=h(M)}$ объясняется тем, что это защищает подпись от перебора сообщений по известным злоумышленнику значениям подписи. Пример: если выбрать случайные числа ${\displaystyle i,j}$,удовлетворяющие условиям ${\displaystyle 0<i<{p-1},0<j<{p-1}}$, НОД(j, p-1)=1 и предположить что

  ${\displaystyle r=g^{i}\cdot y^{-j}{\bmod {p}}}$

  ${\displaystyle s=r\cdot j^{-1}{\bmod {(}}p-1)}$

  ${\displaystyle m=r\cdot i\cdot j^{-1}{\bmod {(}}p-1)}$

то легко удостовериться в том, что пара ${\displaystyle (r,s)}$ является верной цифровой подписью для сообщения ${\displaystyle x=M}$.

• Цифровая подпись Эль-Гамаля стала примером построения других подписей, схожих по своим свойствам. В их основе лежит выполнение сравнения: ${\displaystyle y^{A}\cdot r^{B}=g^{C}(modp)}$, в котором тройка ${\displaystyle (A,B,C)}$ принимает значения одной из перестановок ±r, ±s и ±m при каком-то выборе знаков. Например, исходная схема Эль-Гамаля получается при ${\displaystyle A=r}$, ${\displaystyle B=s}$, ${\displaystyle C=m}$.На таком принципе построения подписи сделаны стандарты цифровой подписи США и России. В американском стандарте DSS (Digital Signature Standard), используется значения ${\displaystyle A=r}$, ${\displaystyle B=-s}$, ${\displaystyle C=m}$, а в Российском стандарте: ${\displaystyle A=-x}$, ${\displaystyle B=-m}$, ${\displaystyle C=s}$.
• Ещё одним из преимуществ является возможность уменьшения длины подписи с помощью замены пары чисел ${\displaystyle (s,m)}$ на пару чисел ${\displaystyle (s{\bmod {q}},m{\bmod {q}}}$), где ${\displaystyle q}$ является каким-то простым делителем числа ${\displaystyle (p-1)}$. При этом сравнение для проверки подписи по модулю ${\displaystyle p}$ нужно заменить на новое сравнение по модулю ${\displaystyle q}$: ${\displaystyle (~y^{A}\cdot r^{B}){\bmod {p}}=g^{C}{\pmod {q}}}$. Так сделано в американском стандарте DSS (Digital Signature Standard).

В настоящее время криптосистемы с открытым ключом считаются наиболее перспективными. К ним относится и схема Эль-Гамаля, криптостойкость которой основана на вычислительной сложности проблемы дискретного логарифмирования, где по известным p, g и y требуется вычислить x, удовлетворяющий сравнению:

${\displaystyle y\equiv g^{x}{\pmod {p}}.}$

ГОСТ Р34.10-1994, принятый в 1994 году в Российской Федерации, регламентировавший процедуры формирования и проверки электронной цифровой подписи, был основан на схеме Эль-Гамаля. С 2001 года используется новый ГОСТ Р 34.10-2001, использующий арифметику эллиптических кривых, определённых над простыми полями Галуа. Существует большое количество алгоритмов, основанных на схеме Эль-Гамаля: это алгоритмы DSA, ECDSA, KCDSA, схема Шнорра.

Сравнение некоторых алгоритмов:

• Elgamal T. A Public-Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms, A Public Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms (англ.) // IEEE Transactions on Information Theory / F. Kschischang — IEEE, 1985. — P. 10—18. — ISSN 0018-9448; 1557-9654 — doi:10.1109/TIT.1985.1057074; doi:10.1007/3-540-39568-7_2
• Алфёров А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии.^[]
• Б. А. Фороузан. Схема цифровой подписи Эль-Гамаля // Управление ключами шифрования и безопасность сети / Пер. А. Н. Берлин. — Курс лекций.
• Menezes A. J., Oorschot P. v., Vanstone S. A. 11.5.2 The ElGamal signature scheme // Handbook of Applied Cryptography (англ.) — Boca Raton: CRC Press, 1997. — 816 p. — (Discrete Mathematics and Its Applications) — ISBN 978-0-8493-8523-0