Схема с разностями против потока

Схема с разностями против потока в вычислительной физике — класс методов дискретизации для решения (явными схемами) дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (гиперболических уравнений).

Например, одномерное уравнение волны имеет вид

$\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

Оно описывает распространение волны в направлении $x$ со скоростью $a$ . Такое уравнение также является математической моделью одномерной линейной адвекции. Рассматривая обыкновенную точку сетки $i$ , в одномерном случае есть только два допустимых направления, левое и правое. Если $a$ положительна, то левая сторона называется направлением против потока, а правая сторона называется направлением по потоку. (Если $a$ отрицательна, то наоборот). Если при использовании конечных разностей для пространственной производной $\partial u/\partial x$ содержит больше точек на стороне против потока, то схема называется схемой с разностями против потока^[1].

Первого порядка

Простейший пример, пример первого порядка:^[2]

\quad (1)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0

\quad (2)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0

Компактная форма

Определяя

\qquad \qquad a^{+}={\text{max}}(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min}}(a,0)

\qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}

два условных уравнения (1) и (2) можно записать в одном:

\quad (3)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+a^{-}u_{x}^{+}\right]

Такое уравнение представляет схемы с разностями против потока в общем виде. Стабильность схемы с разностями против потока определяется критерием Куранта — Фридрихса — Леви.^[3]

Источники

↑ Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости (рус.). — Springer, 1992. — ISBN 9783540530589.
↑ Patankar, S. V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow (неопр.). — Taylor & Francis, 1980. — ISBN 978-0-89116-522-4.
↑ Hirsch, C. Numerical Computation of Internal and External Flows (англ.). — John Wiley & Sons, 1990. — ISBN 978-0-471-92452-4.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Уравнение диффузии</span> дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее процесс распространения (диффузии) некоторой величины

Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

Уравне́ние Шрёдингера — линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах.

Теоре́ма Нётер или первая теорема Нётер утверждает, что каждой дифференцируемой симметрии действия для физической системы с консервативными силами соответствует закон сохранения. Теорема была доказана математиком Эмми Нётер в 1915 году и опубликована в 1918 году. Действие для физической системы представляет собой интеграл по времени функции Лагранжа, из которого можно определить поведение системы согласно принципу наименьшего действия. Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям над физическим пространством.

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия. Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению, получаются применением разностного метода, что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач.

Вариацио́нное исчисле́ние — раздел анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Наиболее типичная задача — найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом.

Краевая задача — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Лагранжева механика — формулировка классической механики, введённая Луи Лагранжем в 1788 году. В лагранжевой механике траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действие — интеграл от функции Лагранжа по времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией и потенциальной энергией.

<span class="mw-page-title-main">Гиперболические уравнения</span>

Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.

Волново́е число́ — быстрота роста фазы волны $\text{[math]}$ по координате в пространстве:

\text{[math]}

Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Фо́рмула Кирхго́фа — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска из него можно получить решения двумерного и одномерного уравнения.

Уравне́ние Гельмго́льца — это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных:

\text{[math]}

Зада́ча Не́ймана, вторая краевая задача — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два типа: внутренние и внешние. Названа в честь Карла Неймана.

Метод Годунова — реализация схем сквозного счета, с помощью которых можно рассчитывать газодинамические течения с разрывами параметров внутри расчётной области. Эта схема предложена С. К. Годуновым в 1959 г. Метод Годунова — это вариант метода контрольного объёма. Потоки через боковые грани определяются из решения задачи о распаде произвольного разрыва. Поясним на примере.

Уравне́ние Ланда́у — Ли́фшица — уравнение, описывающее движение намагниченности в приближении континуальной модели в твердых телах. Впервые введено Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем в 1935 году.

Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги, в квантовой теории поля, основное уравнение движения, обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.

Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных переменных величин, причем одни из них являются функциями других.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.