Сходимость по Пуассону — Абелю

Сходимость по Пуассону — Абелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное Пуассоном и Абелем.

Определение

Пусть $A$ обозначает числовой ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$ Ряд $A$ называется сходящимся по Пуассону — Абелю, если существует предел:^[1]

\lim _{x\to 1-0}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}=s_{p}(A)

Пример

Рассмотрим ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}$ . Этот ряд сходится по Пуассону — Абелю: $\lim _{x\to 1-0}(1-x+x^{2}-...)=\lim _{x\to 1-0}{\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{2}}$

Свойства

Если $A$ — сходящийся ряд, то он сходится по Пуассону — Абелю и $s_{p}(A)=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ ^[2].
Если ряды $A$ и $B$ сходятся по Пуассону — Абелю, то и их произведение $C$ сходится по Пуассону — Абелю и $s_{p}(A)s_{p}(B)=s_{p}(C)$ ^[3].

См. также

Примечания

↑ Воробьев, 1986, с. 286.
↑ Воробьев, 1986, с. 289.
↑ Воробьев, 1986, с. 291.

Литература

Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М.: Наука, 1986. — 408 с.

Похожие исследовательские статьи

Производя́щая фу́нкция после́довательности — алгебраическое понятие, которое позволяет работать с разными комбинаторными объектами аналитическими методами. Они дают гибкий способ описывать соотношения в комбинаторике, а иногда помогают вывести явные формулы для числа комбинаторных объектов определённого типа.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

<span class="mw-page-title-main">Ряд (математика)</span> понятие в математическом анализе

Ряд в математике — одно из центральных понятий математического анализа, математическая концепция, представляющая собой сумму бесконечного числа слагаемых, упорядоченных в определённой последовательности. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел:

\text{[math]}

Краткая запись:

\text{[math]}

(иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с нуля).

Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на $\text{[math]}$ , последний часто может быть найден в явном виде.

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

\text{[math]}

Сходящийся ряд $\text{[math]}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\text{[math]}$ , иначе — сходящимся условно.

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

\text{[math]}

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция $\text{[math]}$ .

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k, в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. Существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

Теорема Абеля — результат теории степенных рядов, названный в честь норвежского математика Нильса Абеля. Обратной к ней является теорема Абеля — Таубера.

Теорема Таубера — теорема о свойствах степенных рядов вблизи границы круга сходимости. Является простейшей обратной теоремой к теореме Абеля о сходимости степенных рядов. Доказана А. Таубером в 1897 году. Впоследствии была сформулирована и доказана при более общих условиях другими авторами.

Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин и может быть использована для доказательства теоремы Колмогорова о двух рядах

Суммирующая функция ряда — функция, которая каждому ряду $\text{[math]}$ ставит в соответствие некоторое число $\text{[math]}$ . Примером суммирующей функции может служить $\text{[math]}$ . Эта функция определена на множестве всех сходящихся рядов и её значение равно сумме ряда. Так определённую суммирующую функцию называют $\text{[math]}$ . Для удобства использования суммирующие функции должны обладать свойствами регулярности, и линейности.

Сходимость по Эйлеру — обобщение понятия сходимости знакопеременного ряда, предложенное Эйлером.

Двойной ряд — числовая последовательность, элементы которой занумерованы парами целых положительных чисел (индексов), рассматриваемая совместно с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм ряда.

При́знаки сходи́мости числового ряда — методы, позволяющие установить сходимость или расходимость бесконечного ряда $\text{[math]}$

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.