Счётно-аддитивная функция множеств

Счётно-аддитивная функция множеств — вещественнозначная функция множеств $f\colon \Sigma \to \mathbb {R}$ , обладающая свойством аддитивности по отношению к счётной последовательности непересекающихся множеств:

f(\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }f(S_{i})

где для каждого $i\in \mathbb {N}$ $S_{i}\subseteq \Sigma$ и $S_{i}\cap S_{j}=\varnothing$ для всех $i\neq j$ .

Особый интерес такие функции представляют в связи с определением меры: $\sigma$ -аддитивной мерой является всякая неотрицательная счётно-аддитивная функция множеств, определённая на $\sigma$ -алгебре и обращающаяся в нуль на пустом множестве.

Литература

Функция множеств — статья из Математической энциклопедии. В. И. Соболев

Похожие исследовательские статьи

Ме́ра мно́жества — числовая характеристика множества, интуитивно её можно понимать как массу множества при некотором распределении массы по пространству. Понятие меры множества возникло в теории функций вещественной переменной при развитии понятия интеграла.

Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» $\text{[math]}$ . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией $\text{[math]}$ , значения $\text{[math]}$ которой численно выражают исходы $\text{[math]}$ случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции $\text{[math]}$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ .

σ-алгебра — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их исхода (появления).

Ме́ра Лебе́га на $\text{[math]}$ — мера, обобщающая понятия длины отрезка, площади фигуры и объёма тела на произвольное $\text{[math]}$ -мерное евклидово пространство. Говоря более формально, мера Лебега является продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств.

<span class="mw-page-title-main">Интеграл Лебега</span>

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы, имеет распределение, близкое к нормальному.

Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.

Пло́тность вероя́тности — один из способов задания распределения случайной величины. Во многих практических приложениях понятия «плотность вероятности» и «плотность (распределения) случайной величины» или «функция распределения вероятностей» фактически синонимизируются и под ними подразумевается вещественная функция, характеризующая сравнительную вероятность реализации тех или иных значений случайной переменной (переменных).

Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины при выполнении некоторого условия. Часто в качестве условия выступает фиксированное на некотором уровне значение другой случайной величины, которая может быть связана с данной. В этом случае условное математическое ожидание случайной величины $\text{[math]}$ при условии, что случайная величина $\text{[math]}$ приняла значение $\text{[math]}$ обозначается как $\text{[math]}$ , соответственно, ее можно рассматривать как функцию от $\text{[math]}$ . Эта функция называется функцией регрессии случайной величины $\text{[math]}$ на случайную величину $\text{[math]}$ и поэтому условное математическое ожидание обозначают как $\text{[math]}$ , то есть без указания фиксированного значения $\text{[math]}$ .

Си́гма-коне́чная ме́ра в функциональном анализе — мера такая, что всё пространство может быть представлено в виде счётного объединения измеримых множеств конечной меры.

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — дифференциальное уравнение, в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический (случайный) процесс. Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ — уравнение с членом, описывающим белый шум. Однако существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс.

Арифметическая функция — функция, определённая на множестве натуральных чисел $\text{[math]}$ и принимающая значения из множества комплексных чисел $\text{[math]}$ .

В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная (счётно-аддитивная) мера на некотором кольце $\text{[math]}$ подмножеств множества $\text{[math]}$ может быть продлена на σ-кольцо, порожденное кольцом $\text{[math]}$ . В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы в частности вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега.

Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема состоит в том, чтобы

«Определить все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятия угла, и пополнить эти системы аксиомой неравенства треугольника».

В математике теория момента остановки или марковский момент времени связана с проблемой выбора времени, чтобы принять определённое действие, для того чтобы максимизировать ожидаемое вознаграждение или минимизировать ожидаемые затраты. Проблема момента остановки может быть найдена в области статистики, экономики и финансовой математики. Самым ярким примером, относящимся к моменту остановки, является Задача о разборчивой невесте. Проблема момента остановки часто может быть указана в форме уравнения Беллмана и поэтому часто решается с помощью динамического программирования.

Функция множеств — функция $\text{[math]}$ , определённая на некоторой системе множеств $\text{[math]}$ с областью значений в некотором множестве $\text{[math]}$ . Например, функция $\text{[math]}$ , сопоставляющая каждому подмножеству множества $\text{[math]}$ его кардинальное число — функция множеств.

Спектральная мера - это отображение, определённое на $\text{[math]}$ -алгебре подмножеств заданного множества, значения которого являются ортогональными проекторами в гильбертовом пространстве.

В математическом анализе множество меры 0, также известное как «множество с нулевым содержимым» — измеримое по Лебегу множество действительных чисел, имеющее меру ноль. Его можно охарактеризовать как множество, которое можно покрыть счётным объединением интервалов произвольно малой общей длины.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.