Телескопический признак

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Телескопический признак (Признак сгущения Коши) — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши в 1821 году[1].

Формулировка

Пусть для членов ряда выполняется:

  1. последовательность монотонно убывает
  2. — члены неотрицательны

Тогда ряд сходится или расходится одновременно с рядом .


Обобщения

В 1864 году Жозеф Бертран показал, что вместо ряда в данной теореме можно использовать любой ряд вида:[2]

, где

В 1902 году Эмиль Борель ещё более расширил данную теорему, использовав вместо ряда ряд вида:[3]

, где

Здесь целая часть числа .

Признак сгущения Шлёмильха

В 1873 году Оскар Шлёмильх доказал другое обобщение телескопического признака[4]:

Пусть для членов ряда выполняется:

  1. последовательность монотонно убывает
  2. — члены неотрицательны

Тогда ряд сходится или расходится одновременно с рядами и .


Признак сгущения Кноппа

В своей книге 1922 года Конрад Кнопп сформулировал следующее обобщение телескопического признака.

Пусть:

  1. — монотонно убывающая последовательность (члены ряда)
  2. — последовательность неотрицательна
  3. — некоторая строго возрастающая последовательность
  4. (а значит, )
  5. последовательность ограничена

Тогда ряд сходится или расходится, одновременно с рядом .


Данную теорему иногда приписывают Шлёмильху[5].

Например, если рассматривать последовательность , которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном , то согласно указанной теореме ряд сходится или расходится одновременно с рядом , а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд сходится или расходится одновременно с рядом при любой выбранной константе .

Примечания

  1. Cauchy A.L. I.re partie: Analyse algébrique // Cours d'analyse de l'École royale polytechnique. — Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. — С. 135-136. — 576 с.
  2. Bertrand J. Premiére Partie. Calcul Différentiel // Traité de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1864. — P. 234-235. — 780 p.
  3. Borel E. Leçons sur les Séries a Termes Positifs (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1902. — 91 p.
  4. Schlömilch O. Ueber dei gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen (нем.) // ZfMuP. — 1873. — Bd. b28. — S. 425-426.
  5. Bonar, Khoury, 2006, теорема 2.4 с доказательством.

Ссылки