Теорема Асколи — Арцела

Теорема Арцела́ — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора, Чезаре Арцела.

Теорема Арцела — Асколи (или Асколи — Арцела) — это обобщение теоремы Арцела на тот случай, когда рассматриваются семейства отображений метрических компактов (обобщённая теорема Арцела).

Применение теоремы Арцела связано со специальными свойствами рассматриваемых семейств, а именно: с равномерной ограниченностью и равностепенной непрерывностью.

В математическом анализе (а затем и в функциональном анализе) рассматриваются всевозможные семейства непрерывных функций, заданных на специальных множествах (метрических компактах) и исследуется вопрос о «полноте» таких семейств. В частности, возникает вопрос о существовании предела, например, у последовательности непрерывных числовых функций, заданных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, а также о свойствах данного предела. Согласно критерию Коши, равномерный предел непрерывных функций, также является непрерывной функцией, что означает полноту пространства ${\displaystyle C[a,b]}$. Существенным здесь является то, что область определения функций — компактное подмножество вещественной прямой (отрезок), а функции принимают значение в полном метрическом пространстве. Аналогичный результат мы получим если возьмём класс непрерывных отображений произвольного метрического компакта в полное метрическое пространство.

Полнота класса ${\displaystyle C[a,b]}$ позволяет приблизить всякую непрерывную функцию последовательностью приближений, каждое из которых является функцией в некотором смысле «более простой» чем исходная. Об этом говорит теорема Вейерштрасса: каждую непрерывную функцию на отрезке можно сколь угодно точно приблизить полиномами.

Теорема Арцела относится к тому случаю, когда рассматривается некоторое семейство непрерывных функций ${\displaystyle F\subset C(K,Y)}$, где ${\displaystyle K}$ — метрический компакт, а ${\displaystyle Y}$ — полное метрическое пространство, и исследуется вопрос о том, можно ли выделить из этого семейства сходящуюся подпоследовательность. Поскольку пространство ${\displaystyle C(K,Y)}$ полное, то существование предельной точки означает, по существу, предкомпактность семейства ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle C(K,Y)}$. Поэтому теорему можно сформулировать в общем виде, говоря именно о предкомпактности.

Таким образом, Теорема Арцела представляет собой критерий предкомпактности семейства непрерывных функций, заданных на компакте и действующих в полное метрическое пространство.

Существующий критерий предкомпактности множества в полном пространстве требует проверки вполне ограниченности данного множества. На практике, такой критерий не является эффективным. Поэтому представляется целесообразным каким-то образом использовать свойства самих функций, входящих в семейство, чтобы получить критерий предкомпактности, пригодный для применения на практике.

В ходе исследований оказалось, что такими свойствами являются свойства равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности рассматриваемого семейства.

Упоминание о равностепенной непрерывности было сделано одновременно Джулио Асколи(1883—1884)^[1] и Чезаре Арцела (1882—1883)^[2]. Слабая форма теоремы была доказана Асколи в 1883—1884^[1], который установил достаточное условия компактности, и Арцелой в 1895^[3], который привёл необходимое условие и дал первую чёткую интерпретацию результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906)^[4] для пространств, в которых понятие предела имеет смысл, например, метрического пространства или хаусдорфового Данфорд, Шварц (1958)^[5]. Современные формулировки теоремы позволяют области и диапазону быть метрическими пространствами. Наиболее общая формулировка теоремы даёт необходимое и достаточное условия для того, чтобы семейство функций из компактного хаусдорфового пространства в Равномерное пространство^[англ.] было компактным в топологии равномерной сходимости Бурбаки (1998, § 2.5)^[6].

Рассмотрим пространство ${\displaystyle C[a,b]}$ непрерывных функций, заданных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, вместе с метрикой равномерной сходимости. Это — полное метрическое пространство. Известно, что:

• Для того, чтобы некоторое подмножество полного метрического пространства было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.

В случае пространства ${\displaystyle C[a,b]}$, однако, можно использовать более эффективный критерий предкомпактности, но для этого придётся ввести два следующих ниже понятия.

Положим, что ${\displaystyle F}$ — некоторое семейство непрерывных функций, заданных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$.

Семейство ${\displaystyle F}$ называется равномерно ограниченным, если существует единая для всех элементов семейства постоянная ${\displaystyle K}$, которой ограничены все функции семейства:

${\displaystyle \forall f\in F\quad \forall x\in [a,b]\quad |f(x)|<K}$.

Семейство ${\displaystyle F}$ называется равностепенно непрерывным, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$ такая, что для всякого элемента ${\displaystyle f\in F}$ и для любых точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ таких, что ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$, выполняется строгое неравенство ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$.

Фактически, необходимо показать, что оба указанных свойства семейства функций эквивалентны вполне ограниченности данного семейства.

Итак, пусть семейство ${\displaystyle F}$ — вполне ограниченное.

Фиксируем ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и построим конечную ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сеть вида: ${\displaystyle \{\varphi _{i}\}_{i=1}^{n}}$.

Поскольку каждая функция данной системы непрерывна и, следовательно, ограничена, то для каждой такой функции существует своя константа ${\displaystyle K_{i}}$ такая что, ${\displaystyle |\varphi _{i}(x)|<K_{i}}$ для всякого ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Поскольку таких функций конечное множество, то можно взять ${\displaystyle K=\max _{i}K_{i}+\varepsilon /3}$.

Теперь, если взять произвольную функцию ${\displaystyle f\in F}$, то для этой функции существует такой элемент ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сети, что ${\displaystyle |f(x)-\varphi _{i}(x)|<\varepsilon /3}$ для всякого ${\displaystyle x\in [a,b]}$. Очевидно, что в этом случае функция ${\displaystyle f}$ будет ограничена константой ${\displaystyle K}$.

Тем самым показано, что семейство ${\displaystyle F}$ является равномерно ограниченным.

Опять же, в силу непрерывности каждого элемента ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сети, этот элемент оказывается также и равномерно непрерывным и, следовательно, по ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$ можно подобрать такое ${\displaystyle \delta _{i}}$ такое, что ${\displaystyle |\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|<\varepsilon /3}$ для любых точек ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]}$ таких, что ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta _{i}}$.

Положим ${\displaystyle \delta =\min _{i}\delta _{i}}$.

Если теперь рассмотреть произвольную функцию ${\displaystyle f\in F}$, то для заданного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ будет иметь место строгое неравенство ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$ для любых точек ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]}$ таких, что ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$.

Действительно, ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant |f(x_{1})-\varphi _{i}(x_{1})|+|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|+|\varphi _{i}(x_{2})-f(x_{2})|<\varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon }$, где ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — подходящий элемент ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сети.

Тем самым показано, что семейство ${\displaystyle F}$ является равностепенно непрерывным.

Другими словами, вполнеограниченность влечёт равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность.

Теперь необходимо доказать, что равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства ${\displaystyle F}$ влечёт существование конечной ${\displaystyle \varepsilon }$-сети для всякого конечного ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Фиксируем ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Пусть ${\displaystyle K}$ — это константа, которая фигурирует в определении равномерной ограниченности.

Выберем такое ${\displaystyle \delta >0}$, которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует величине ${\displaystyle \varepsilon /5}$.

Рассмотрим прямоугольник ${\displaystyle [a,b]\times [-K,K]}$ и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем ${\displaystyle \delta }$ по горизонтали и ${\displaystyle \varepsilon /5}$ по вертикали. Пусть ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle \dots }$ , ${\displaystyle x_{N}}$ — узлы этой решётки (по оси абсцисс).

Если теперь рассмотреть произвольную функцию ${\displaystyle f\in F}$, то для каждого узла ${\displaystyle x_{i}}$ решётки обязательно найдётся такая точка ${\displaystyle (x_{i},y_{j})}$ решётки, что ${\displaystyle |f(x_{i})-y_{j}|<\varepsilon /5}$. Если теперь рассмотреть ломаную функцию ${\displaystyle \varphi }$, которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на ${\displaystyle \varepsilon /5}$, то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на ${\displaystyle \varepsilon /5}$, ломаная на каждом таком отрезке уклоняется не более чем на ${\displaystyle 3\varepsilon /5}$.

Поскольку каждая точка ${\displaystyle x}$ отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ оказывается на одном из таких отрезков, скажем, ${\displaystyle [x_{k},x_{k}+1]}$, то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle |f(x)-\varphi (x)|\leqslant |f(x)-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\varphi (x_{k})|+|\varphi (x_{k})-\varphi (x)|<\varepsilon /5+\varepsilon /5+3\varepsilon /5=\varepsilon }$.

Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является ${\displaystyle \varepsilon }$-сетью для заданного ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Теорема Арцела находит своё применение в теории дифференциальных уравнений.

В теореме Пеано (о существовании решения задачи Коши) строится система функций, которая в теории дифференциальных уравнений носит название ломаных Эйлера. Эта система оказывается равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным семейством функций, из которого, согласно теореме Арцела можно выделить равномерно сходящуюся последовательность функций, предел которой и будет искомым решением задачи Коши.

• Лемма Арцела
• Теорема Монтеля о компактном семействе функций — следствие из теоремы Арцела.

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. третье, переработанное. — М.: Наука, 1972. — 496 с.