Теорема Атьи — Зингера об индексе

Теорема Атьи — Зингера об индексе — утверждение о равенстве аналитического и топологических индексов эллиптического оператора на замкнутом многообразии^[1]. Установлено и доказано в 1963 году Майклом Атьёй и Изадором Зингером.

Результат способствовал обнаружению новых связей между алгебраической топологией, дифференциальной геометрией и глобальным анализом^[2], нашёл применение в теоретической физике, а исследование его обобщений сформировалось в отдельное направление ${\displaystyle K}$-теории — теорию индекса^[3].

Аналитический индекс дифференциального оператора ${\displaystyle d\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$, где ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ — гладкие векторные расслоения над дифференцируемым замкнутым многообразием ${\displaystyle X}$, — это разность между размерностями его ядра и коядра:

${\displaystyle i_{a}(d)=\mathrm {dim} \,\mathrm {Ker} \,d-\mathrm {dim} \,\mathrm {Coker} \,d=\mathrm {dim} \,d^{-1}(0)-\mathrm {dim} \,C^{\infty }(F)/d(C^{\infty }(E))}$.

Для эллиптических операторов эти размерности конечны.

Топологический индекс эллиптического оператора ${\displaystyle d\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$ определяется как:

${\displaystyle i_{t}(d)=\{\mathrm {ch} \,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal {T}}(X)\}[\Sigma (X)]}$,

где ${\displaystyle \sigma (d)}$ — символ оператора ${\displaystyle d}$, определяющий изоморфизм поднятий ${\displaystyle \sigma (d)\colon \pi ^{*}(E)\to \pi ^{*}(F)}$, ${\displaystyle \pi \colon S(X)\to X}$ — расслоение единичных сфер кокасательного расслоения ${\displaystyle T^{*}X}$ многообразия ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle V(\sigma )}$ — расслоение ${\displaystyle \pi ^{+*}(E)\cup _{\sigma }(d)\pi ^{-*}(F)}$ над склейкой ${\displaystyle \Sigma (X)=B^{+}\cup _{S(X)}B^{-}}$ двух экземпляров пространства расслоений ${\displaystyle B(X)}$ единичных шаров в ${\displaystyle T^{*}X}$ (${\displaystyle S(X)}$ — край ${\displaystyle B(X)}$); ${\displaystyle \mathrm {ch} \,V(\sigma )}$ — когомологический характер Чженя расслоения ${\displaystyle V(\sigma )}$; ${\displaystyle {\mathcal {T}}(X)}$ — когомологический класс Тодда комплексифицированного кокасательного расслоения ${\displaystyle T^{*}X\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$; ${\displaystyle \pi _{\Sigma }^{*}\colon \Sigma (X)\to X}$; ${\displaystyle \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal {T}}(X)={\mathcal {T}}(\Sigma (X))}$, а часть «${\displaystyle [\Sigma (X)]}$» означает взятие ${\displaystyle 2n}$-мерной компоненты элемента ${\displaystyle \{\mathrm {ch} \,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal {T}}(X)\}}$ на фундаментальном цикле многообразия ${\displaystyle \Sigma (X)}$.

Утверждение теоремы заключается в равенстве аналитического и топологического индекса эллиптических операторов на замкнутых многообразиях.

Частные проявления соотношения, выраженного в теореме об индексе, были обнаружены ещё в XIX веке, такова, например, формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы, а также её многомерные обобщения. Ещё одно проявление такой связи — теорема Римана — Роха для неособых алгебраических кривых (1865) и её обобщение на произвольные векторные расслоения на компактных комплексных многообразиях — теорема Римана — Роха — Хирцебруха^[англ.] (1954).

Вопрос о возможном соотношении аналитического индекса эллиптических операторов и их топологических характеристик сформулировал Израиль Гельфанд в 1960 году^[4], обратив внимание на инвариантность аналитического индекса относительно деформаций оператора. В 1963 году Атьёй и Зингером найдена такая топологическая характеристика; в 1964 году опубликовано доказательство для многообразий с краем. Первые варианты доказательства использовали технику, сходную с доказательством Фридриха Хирцебруха обобщения гипотезы Римана — Роха, в значительной степени привлекали средства теории когомологий и кобордизмов и отличались значительной технической сложностью^[5]. Через несколько лет формулировка и доказательство были переведены на язык ${\displaystyle K}$-теории, тем самым доказательство существенно упрощено, и открыта возможность для дальнейших обобщений, и в 1970-е — 1990-е годы аналоги теоремы были получены для более широких и различных специальных классов объектов.

Теорема об индексе (наряду с ${\displaystyle K}$-теорией и аналогом формулы Лефшеца для эллиптических операторов) была упомянута в номинации Атьи на Филдсовскую премию 1966 года. В 2004 году за теорему об индексе Атья и Зингер удостоены премии Абеля^[6].

Из теоремы следует, что топологический индекс эллиптического оператора на замкнутом многообразии — целое число^[1]. Другое следствие — аналитический и топологический индексы для оператора на многообразии нечётной размерности равны нулю^[1].

Теорема Римана — Роха и её обобщения — теорема Римана — Роха — Хирцебруха^[англ.] и теорема Римана — Роха — Гротендика^[англ.] — естественные следствия теоремы об индексе.

• Р. Пале. Семинар по теореме Атьи — Зингера об индексе. — М.: Мир, 1970.
• М. Ф. Атья, И. М. Зингер. Индекс эллиптических операторов. I (рус.) = The index of elliptic operators. I // Успехи математических наук / Пер. с англ. С. И. Гельфанда. — Российская академия наук, 1968. — Т. 23, вып. 5, № 143. — С. 99—142. — ISSN 0042-1316.
• Индекса формулы — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский, М. А. Шубин