Теорема Борсука — Улама

Теорема Бо́рсука — У́лама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая $n$ -мерную сферу в $n$ -мерное евклидово пространство для некоторой пары диаметрально противоположных точек^[англ.] имеет общее значение. Неформально утверждение известно как «теорема о температуре и давлении»: в любой момент времени на поверхности Земли найдутся антиподальные точки с равной температурой и равным давлением^[1]; одномерный случай обычно иллюстрируют двумя диаметрально противоположными точками экватора с равной температурой.

Впервые утверждение встречается у Люстерника и Шнирельмана в работе 1930 года^[2]^[3]; первое доказательство опубликовано в 1933 году Борсуком, который сослался на Улама как автора формулировки.

Формулировка

Для непрерывной функции $f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ , где $\mathbb {S} ^{n}$ — сфера в $(n+1)$ -мерном евклидовом пространстве, существуют такие две диаметрально противоположные точки $a,-a\in \mathbb {S} ^{n}$ , что $f(a)=f(-a)$ .

Вариации и обобщения

Эквивалентное утверждение — теорема об общем нуле: всякая нечётная (относительно диаметральной противоположности) непрерывная функция $g\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ из $n$ -мерной сферы в $n$ -мерное евклидово пространство в одной из точек $a\in \mathbb {S} ^{n}$ обращается в нуль: $g(a)=0$ . Эквивалентность устанавливается введением для непрерывной функции $f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ нечётной функции $g(x)=f(x)-f(-x)$ . В одномерном случае теорема об общем нуле непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении; общее доказательство использует изоморфизм Гуревича^[англ.] (алгебраико-топологический вариант), либо выводится из леммы Такера (комбинаторный вариант; лемма Такера при этом считается комбинаторным аналогом теоремы Борсука — Улама).

В 1954 году Абрам Ильич Фет обобщил результат^[4]: утверждение теоремы имеет место не только для соотношения антиподов, но и для произвольной инволюции $n$ -мерной сферы, то есть, для всякой инволюции $^{*}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n}$ и любой непрерывной функции $f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ найдётся такая точка $a\in \mathbb {S} ^{n}$ , что $f(a)=f(a^{*})$ ^[5]^[6].

Примечания

↑ О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология. — МЦМНО, 2010. — 352 с. — ISBN 978-5-94057-587-0. Архивировано 19 февраля 2012 года.
↑ Л. А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман. Топологические методы в вариационных задачах // Труды Института математики и механики при МГУ (специальный выпуск). — 1930.
↑ Jiří Matoušek. Using the Borsuk–Ulam theorem. — Berlin: Springer Verlag, 2003. — ISBN 3-540-00362-2. — doi:10.1007/978-3-540-76649-0.
↑ Крейн — Нудельман, 1983, Советский математик А. Фет, используя тонкие и сильные средства топологии, обнаружил, что теорема Борсука — Улама (даже в её $n$ -мерном варианте) остаётся в силе, если на сфере $S$ задана произвольная инволюция $P\to P'$ , с. 25.
↑ А. И. Фет. Обобщение теоремы Люстерника — Шнирельмана о покрытиях сфер и некоторых связанных с ней теорем // ДАН. — 1954. — Т. 95, № 6. Архивировано 25 января 2020 года.
↑ А. И. Фет. Инволюционные отображения и покрытия сфер // Труды семинара по функциональному анализу. — Воронежский университет, 1955. — Вып. 1.