Теорема Вейерштрасса — Стоуна

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна➤.

Первоначально сформулирована и доказана Карлом Вейерштрассом в 1885 году для непрерывных на отрезке вещественной прямой функций, устанавливая возможность их равномерно приблизить последовательностью многочленов➤. В 1937 году Маршалл Стоун существенно обобщил результат➤, распространив результат на функции, непрерывные на произвольном T₂-отделимом компактном пространстве, образующие кольцо, а в качестве равномерно сходящихся последовательностей функций вместо многочленов — функции из специфичного подкласса непрерывных функций, образующего подкольцо.

Позднее найдены и другие обобщения результата➤.

Пусть ${\displaystyle f}$ — непрерывная функция, определённая на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Тогда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такой многочлен ${\displaystyle p}$ с вещественными коэффициентами, что для всех ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle [a,\;b]}$ одновременно выполнено условие ${\displaystyle |f(x)-p(x)|<\varepsilon }$^[1].

Если ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических многочленов.

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома ${\displaystyle p}$ следует считать комплексными числами и к полиномам следует добавить их комплексные сопряжения.

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году^[2] как следствие более общего утверждения: для вещественной непрерывной на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ограниченной функции ${\displaystyle f}$ и четной положительной функции ${\displaystyle \psi }$ со сходящимся интегралом

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi (x)dx}$

при всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ имеет место равенство

${\displaystyle f(x)=\lim \limits _{k\to 0}{\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left({\frac {x-y}{k}}\right)f(y)dy}$.

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен ${\displaystyle f(x)}$, но и что сходимость равномерная по ${\displaystyle x}$, меняющемся на любом конечном отрезке.

В случае, когда ${\displaystyle \psi (x)=e^{-x^{2}}}$, каждая функция из семейства:

${\displaystyle F_{k}(x)={\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left({\frac {x-y}{k}}\right)f(y)dy,\ k>0,}$

вполне определена при всех комплексных ${\displaystyle x}$ и является целой. Поэтому её можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (теорема Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию ${\displaystyle f(x)}$ можно равномерно приблизить многочленами на любом конечном интервале.

Если к тому же ${\displaystyle f(x)}$ — периодическая функция с периодом ${\displaystyle T}$, то функции ${\displaystyle F_{k}(x)}$ являются целыми периодическими функциями. Но тогда:

${\displaystyle F_{k}\left({\frac {T}{2\pi i}}\ln z\right)}$

является однозначной и голоморфной функцией в области ${\displaystyle z\not =0}$ и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

${\displaystyle F_{k}=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\exp {\left({\frac {2\pi }{T}}inx\right)}}$,

поэтому ${\displaystyle F_{k}(x)}$, а значит и ${\displaystyle f(x)}$ можно приблизить тригонометрическими многочленами.

В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а формирующийся на базе интегрального и дифференциального исчисления анализ занимался произвольными функциями, так, Герман Ханкель особо отмечал: «о функции ${\displaystyle y}$ от ${\displaystyle x}$ говорят, когда каждому значению переменной ${\displaystyle x}$, [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение ${\displaystyle y}$; при этом не существенно, зависит ли ${\displaystyle y}$ от ${\displaystyle x}$ во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций»^[3], подчёркивая, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция есть предел многочленов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Согласно теореме Вейерштрасса пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

В 1935 году Стоун доказал, что всякую функцию из кольца ${\displaystyle C(K)}$ непрерывных на хаусдорфовом компакте ${\displaystyle K}$ вещественнозначных функций можно равномерно приблизить функциями специального класса — составляющими алгебру Стоуна, то есть любая алгебра Стоуна ${\displaystyle C_{0}}$ является всюду плотной в пространстве непрерывных функций на компакте: ${\displaystyle {\overline {C_{0}}}=C(K)}$. В качестве нормы равномерной сходимости на ${\displaystyle C(K)}$ берётся ${\displaystyle \|f\|=\max \limits _{x\in K}|f(x)|}$, а алгебра Стоуна определяется как подалгебра ${\displaystyle C_{0}\subseteq C(K)}$, элементы которой разделяют точки ${\displaystyle K}$.

Более точно, алгебра Стоуна ${\displaystyle C_{0}}$ — это множество функций из кольца ${\displaystyle C(K)}$, удовлетворяющее следующим условиям:

1. вместе с любыми её элементами ${\displaystyle f,g\in C_{0}}$ в алгебру Стоуна входят элементы: ${\displaystyle cf}$ (${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$), ${\displaystyle f+g}$, ${\displaystyle fg}$;
2. алгебра Стоуна содержит постоянную функцию ${\displaystyle 1}$;
3. для каждой пары различных точек ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in K}$ найдётся хотя бы одна функция ${\displaystyle f\in C_{0},}$ такая, что ${\displaystyle f(x_{1})\neq f(x_{2})}$.

Существует серия обобщений теоремы Вейерштрасса — Стоуна в различных направлениях. Например, по теореме Мергеляна всякую функцию, непрерывную на всяком компакте со связным дополнением на комплексной плоскости и голоморфную в его внутренних точках можно равномерно приблизить комплексными многочленами. Также были найдены обобщения, позволяющие вместо хаусдорфова компакта рассматривать функции, непрерывные на произвольном тихоновском пространстве.

• Многочлен Бернштейна

• Вейерштрасса — Стоуна теорема — статья из Математической энциклопедии. В. И. Пономарев
• Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977. — 512 с.