Теорема Вика — Блоха — Доминисиса

Теорема Вика — Блоха — Доминисиса — утверждение о том, что среднее значение произведения операторов рождения и уничтожения частиц в квантовой статистической механике равно сумме всех возможных полных систем спариваний для этого произведения. Была сформулирована и доказана Блохом и Доминисисом в 1958 году ^[1].

Среднее значение произведения операторов рождения и уничтожения ${\displaystyle }$ с гамильтонианом ${\displaystyle (1)}$ равно сумме всех возможных полных систем спариваний этого произведения^[2].

Пусть имеется система из ${\displaystyle N}$ тождественных частиц и пусть её гамильтониан имеет вид:

${\displaystyle H=\sum E_{f}n_{f},n_{f}=a_{f}^{+}a_{f},E_{f}=E_{f}^{'}-\lambda (1)}$.

где ${\displaystyle E_{f}^{'}}$ - энергия частицы в ${\displaystyle f}$ - м состоянии, ${\displaystyle \lambda }$ - химический потенциал. Спариванием двух операторов ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ рождения или уничтожения частиц называется среднее значение произведения этих операторов ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}}=\langle A_{1}A_{2}\rangle }$. Системой спариваний называется попарная расстановка операторов с соответствующим спариванием. Полной системой спариваний называется система спариваний, после применения которой не остаётся ни одного неспаренного оператора. При этом каждому члену в случае статистики Ферми приписывается знак ${\displaystyle (-1)^{P}}$, где ${\displaystyle P}$ - перестановка, переводящая исходное произведение операторов в данное.

В случае статистики Ферми среднее значение произведения четырёх операторов рождения и уничтожения частиц равно: ${\displaystyle \langle A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}\rangle =\langle A_{1}A_{2}\rangle \langle A_{3}A_{4}\rangle -\langle A_{1}A_{3}\rangle \langle A_{2}A_{4}\rangle +\langle A_{1}A_{4}\rangle \langle A_{2}A_{3}\rangle }$.

В случае статистики Бозе среднее значение произведения четырёх операторов рождения и уничтожения частиц равно: ${\displaystyle \langle A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}\rangle =\langle A_{1}A_{2}\rangle \langle A_{3}A_{4}\rangle +\langle A_{1}A_{3}\rangle \langle A_{2}A_{4}\rangle +\langle A_{1}A_{4}\rangle \langle A_{2}A_{3}\rangle }$.

• Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма. — М.: Наука, 1965. — 92 с.