Теорема Вильсона
Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что
Если — простое число, то число делится на . Обратно: если делится на , то — простое число.
Эта теорема, в основном, имеет теоретическое значение, поскольку факториал вычислить довольно трудно. Проще вычислить , поэтому элементарные тесты, определяющие, является ли число простым, основаны на теореме Ферма, а не на теореме Вильсона. Например, наибольшее простое число, найденное с использованием теоремы Вильсона, скорее всего — 1099511628401, и даже с оптимизированным подходом к расчёту потребуется около суток вычислений на процессорах SPARC, а числа с десятками тысяч цифр проходят тест на простоту с использованием теоремы Ферма меньше чем за час. Но, в отличие от малой теоремы Ферма, теорема Вильсона является одновременно необходимым и достаточным условием для простоты.
История
Эта теорема впервые была сформулирована Ибн аль-Хайсамом около 1000 г.н.э,[1] и в 1770 году Варинг сформулировал эту теорему в своём сочинении «Meditationes Algebraicae», опубликованном в Кембридже, он приводит без доказательства теорему Вильсона. По его словам, теорема принадлежит его ученику Вильсону[англ.]. Доказательство теоремы он опубликовал только в третьем издании своего Meditationes в 1782 году. Первое доказательство теоремы Вильсона было дано в 1771 году Лагранжем[2].
Наконец, Эйлер в «Opusc. Analyt», Т. 1, р. 329 дал доказательство, Гаусс обобщил теорему Вильсона на случай составного модуля. Имеются данные о том, что Лейбниц знал о результате ещё столетием раньше, но никогда не публиковал его.
Пример
В таблице посчитаны значения для p от 2 до 37, а также остаток от деления на p (остаток от деления m на p обозначается как m mod p). Зелёным цветом выделены простые числа.
2 | 1 | 1 |
3 | 2 | 2 |
4 | 6 | 2 |
5 | 24 | 4 |
6 | 120 | 0 |
7 | 720 | 6 |
8 | 5040 | 0 |
9 | 40320 | 0 |
10 | 362880 | 0 |
11 | 3628800 | 10 |
12 | 39916800 | 0 |
13 | 479001600 | 12 |
14 | 6227020800 | 0 |
15 | 87178291200 | 0 |
16 | 1307674368000 | 0 |
17 | 20922789888000 | 16 |
18 | 355687428096000 | 0 |
19 | 6402373705728000 | 18 |
20 | 121645100408832000 | 0 |
21 | 2432902008176640000 | 0 |
22 | 51090942171709440000 | 0 |
23 | 1124000727777607680000 | 22 |
24 | 25852016738884976640000 | 0 |
25 | 620448401733239439360000 | 0 |
26 | 15511210043330985984000000 | 0 |
27 | 403291461126605635584000000 | 0 |
28 | 10888869450418352160768000000 | 0 |
29 | 304888344611713860501504000000 | 28 |
30 | 8841761993739701954543616000000 | 0 |
31 | 265252859812191058636308480000000 | 30 |
32 | 8222838654177922817725562880000000 | 0 |
33 | 263130836933693530167218012160000000 | 0 |
34 | 8683317618811886495518194401280000000 | 0 |
35 | 295232799039604140847618609643520000000 | 0 |
36 | 10333147966386144929666651337523200000000 | 0 |
37 | 371993326789901217467999448150835200000000 | 36 |
Доказательство
Достаточность
Пусть p — простое.
- Способ 1
Рассмотрим . Множество ненулевых классов вычетов по простому модулю p по умножению является группой, и тогда - это произведение всех элементов группы . Поскольку - группа, то для каждого её элемента существует единственный обратный элемент . Соответствие разбивает группу на классы: если (что равносильно , то есть , поскольку у уравнения второй степени может быть не более двух решений), то класс содержит один элемент , в противном случае класс состоит из двух элементов - . Значит, если класс содержит один элемент , то произведение всех его элементов равно , а если класс содержит 2 элемента, то произведение всех его элементов равно 1. Теперь в произведении сгруппируем элементы по классам, все произведения по 2-элементным классам просто равны 1:
- Способ 2
Группа циклична, т. е. существует элемент такой, что для всякого элемента существует такое, что . Поскольку имеет элемент, то пробегает значения от 0 до , когда пробегает всю группу вычетов. Тогда
- Способ 3
- поле, поэтому в нем имеет место теорема Лагранжа, т. е. многочлен степени имеет не более корней. Рассмотрим многочлены и . Оба многочлена имеют корни (для это получается по малой теореме Ферма), степени многочленов равны , старшие коэффициенты одинаковы. Тогда многочлен имеет как минимум те же корней, но его степень не более . Значит по теореме Безу тождественно равен нулю, т. е. для всех будет , в частности , что равносильно . Получаем утверждение теоремы для , т. к. четно и значит .■
Необходимость
Если составное и , то , а при получаем .
Геометрическое доказательство достаточности
- Пусть p — простое число. Перенумеруем вершины правильного p-угольника в порядке обхода контура: 1, 2, 3, ..., p. Если соединим их диагоналями последовательно через одну, потом через две, через три и т. д., то кроме правильного многоугольника 123..., получим ещё (p − 2) многоугольников 135..., 147..., 159... и т. д. Эти (p − 1) многоугольников попарно тождественны, так как при соединении вершин через k и через (p − k − 2) получаем тождественные многоугольники. Число различных правильных многоугольников, полученных этим путём, равно ;
- Если соединим вершины в каком-либо другом порядке, например в порядке 13245..., то получим неправильный многоугольник; повёртывая этот многоугольник так, чтобы номера его вершин заменялись следующими по порядку числами (число p заменяется при этом единицей), получим p неправильных многоугольников. В вышеуказанном примере это будут многоугольники 13245..., 24356..., 35467..., ..., 2134... Если таким путём образуем все возможные неправильные многоугольники, то число их будет кратно p, но, как и в случае правильных многоугольников, они по два тождественны; именно две последовательности вершин, прямая и обратная, дают один и тот же многоугольник;
- Если в последовательности вершин 123... сделать все возможные перестановки (p − 1) вершин 23..., то получим все возможные (правильные и неправильные) многоугольники; их число будет равно ; они опять будут попарно тождественны, так что действительное их число ;
- Сопоставляя результаты из пунктов 1 и 3, видим, что число неправильных многоугольников будет равно: . Из пункта 2, это число должно делиться на p; следовательно (p − 1)! + 1 кратно p.:■
Применение
- Используем теорему Вильсона
Для нечётного простого p = 2m + 1, получаем
В результате
Мы можем использовать этот факт для доказательства известного результата: для любого простого p, такого что p ≡ 1 (mod 4) число (−1) является квадратом (квадратичный вычет) по модулю p. Действительно, пусть p = 4k + 1 для некоторого натурального k. Тогда m = 2k, следовательно
Теорема Вильсона используется для генерирования простых чисел, но она слишком медленная для практического применения.
Обобщение
Используя в качестве образца теорему Эйлера, попытаемся обобщить теорему Вильсона на случай p = n, где n — произвольное натуральное число. Простая замена (p − 1)! на произведение n1n2…nk всех чисел, меньших n и взаимно простых с n, не проходит: в случае n = 8 это произведение равно 1 × 3 × 5 × 7 = 105, а 106 на 8 не делится. Но оказывается, что или n1n2…nk + 1, или n1n2…nk − 1 обязательно делится на n.
Рассмотрим множество En чисел, меньших n и взаимно простых с n. Под произведением двух элементов этого множества ab, будем понимать остаток от деления обычного произведения ab на n. Ясно, что если a, b принадлежит En, то ab принадлежит En. Множество En относительно операции умножения является группой. В отличие от случая, когда n — простое, группа En может содержать элементы, не равные 1 и (n − 1) такие, что их квадрат равен 1: например если n = 8, то 3 × 3 = 1, 5 × 5 = 1, 7 × 7 = 1. Поэтому в общем случае произведение всех элементов из En не равно (n − 1). Покажем, что тогда оно равно 1.
Назовем элемент a группы En особым, если aa = 1. В этом случае элемент n − a — тоже особый. Следовательно, группа En содержит чётное число особых элементов: (a, n − a) — множество таких элементов, и никакой элемент не может быть парой сам для себя. Пусть n1, n2, …, nk — все элементы группы En, то есть полный набор чисел, меньших n и взаимно простых с n. Множество элементов, не являющихся особыми, разбивается на пары взаимно обратных, поэтому произведение таких элементов равно 1. С другой стороны, произведение особых элементов, составляющих пару (a, n − a), равно n − 1. Поскольку (n − 1)(n − 1) = 1, то произведение всех особых элементов равно 1 или n − 1, в зависимости от того, чётным или нечётным является число пар вида (a, n − a).■
Впервые теорема была доказана и обобщена Гауссом, при любом n > 2 для произведения всех натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n, имеет место сравнение:
где — нечётное простое число, — натуральный показатель.
Позже было найдено ещё одно формальное обобщение теоремы Вильсона (В.Виноград):
При получается теорема Вильсона.
При получается , т.е.
, если
и
, если
См. также
- Мультипликативная группа кольца вычетов
- Теорема Вольстенхольма
- Число Вильсона
- Функция распределения простых чисел
Примечания
- ↑ Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (англ.) — биография в архиве MacTutor.
- ↑ Joseph Louis Lagrange, «Demonstration d’un théorème nouveau concernant les nombres premiers» Архивная копия от 11 мая 2022 на Wayback Machine (Proof of a new theorem concerning prime numbers), Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres (Berlin), vol. 2, pages 125—137 (1771)
Литература
- Бухштаб А. А. Теория чисел, 2-е издание, М., 1966
- Трост Э. Простые числа, пер. с нем., М., 1959
- Виноградов И. М. Основы теории чисел. — 5 изд.. — М.—Л.: Гостехиздат, 1952.
- R. Crandall, K. Dilcher and C. Pomerance The Prime Glossary (англ.)
- Ore, O. Number Theory and its History. McGraw-Hill, 1948.
- Бончковский Р. Н. и Чистяков И. И. Математическое просвещение, выпуск 01