Теорема Виртингера

Теорема Виртингера — теорема о геометрических свойствах многомерного комплексного пространства. Устанавливает вид дифференциальной формы, измеряющей объёмы комплексных многообразий. Была доказана Вильгельмом Виртингером в 1936 году.

Пусть ${\displaystyle M\subset C^{n}}$ — многообразие класса ${\displaystyle C^{1}}$ чётной вещественной размерности ${\displaystyle 2m}$. Объём этого многообразия:

${\displaystyle VolM\geqslant {\frac {1}{m!}}\int _{M}\varphi _{0}^{m}}$,

причём равенство здесь достигается в том и только том случае, когда ${\displaystyle M}$ — комплексное ${\displaystyle m}$-мерное многообразие.

Здесь дифференциальная форма ${\displaystyle \varphi _{0}={\frac {i}{2}}\sum _{\nu =1}^{n}dz_{\nu }\wedge {\bar {dz_{\nu }}}={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\left|z\right|^{2}}$, где ${\displaystyle \left|z\right|^{2}=\sum z_{\nu }{\bar {z_{\nu }}}}$ — евклидов квадрат модуля.

• Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ, часть II, Функции нескольких переменных. — М.: Наука, 1985. — стр. 133.