Теорема Гильберта о погружении плоскости Лобачевского

Теорема Гильберта о погружении плоскости Лобачевского гласит, что плоскость Лобачевского не допускает гладкого изометрического погружения в трёхмерное евклидово пространство.

История

Теорема доказана Давидом Гильбертом в 1901 году.^[1]
Другое доказательство было дано вскоре Эриком Холмгреном^[англ.].^[2] Позже варианты доказательств предложили Вильгельм Бляшке^[3] и Людвиг Бибербах^[4]
Обобщение на произвольные поверхости с отрицательной верхней границей на кривизну было получено Николаем Владимировичем Ефимовым в 1975 году.^[5] Тем самым была доказана гипотеза была выдвинутая Стефаном Эммануиловичем Кон-Фоссеном.^[6]

Связанные результаты

Теорема Нэша о регулярных вложениях, гласит, что любое риманово многообразие может быть изометрически, вложенного в евклидово пространство достаточно выской размерности.
По теореме Нэша — Кёйпера, плоскость Лобачевского допускает $C^{1}$ -гладкое изометрическое вложение в трёхмерное евклидово пространство.

Примечания

↑ Hilbert, D., Über Flächen von konstanter Krümmung" (Transactions of the American Mathematical Society 2 (1901), 87-99). (Trans. Amer. Math. Soc. 2 (1901)
↑ Holmgren, Е.,"Sur les surfaces à courbure constante négative," (1902).
↑ Blaschke W. Vorlesunger uber Differentialgeometrie. — Berlin: Springer, 1924, S. 206.
↑ Bierberbach L. Hilberts Satz uber Flachen konstanter negativer Kriimmungy/ Acta Math. — 1926. — Bd 48. — S. 319—327.
↑ Ефимов, Н. В. Непогружаемость полуплоскости Лобачевского. Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. 1975, n 2, стр. 83-86.
↑ Кон-Фоссен, С. Э. Изгибаемость поверхностей в целом/УМН — 1936. — Т. 1. — С. 33—76.

Литература

Т. Клотц-Милнор. Теорема Ефимова о полных погруженных поверхностях отрицательной кривизны (рус.) // УМН. — 1986. — Т. 41, № 5(251). — С. 3—57.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Выворачивание сферы</span>

Выворачивание сферы — процесс перемены местами внешней и внутренней поверхностей сферы в трёхмерном пространстве в рамках условий дифференциальной топологии. Допускается самопересечение поверхностей, но в каждый момент времени она не имеет разрывов и сохраняет гладкость. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться дифференцируемым.

Теорема Нэша — Кёйпера утверждает, что любое гладкое короткое вложение $\text{[math]}$ -мерного Риманова многообразия в Евклидово пространство $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ можно аппроксимировать $\text{[math]}$ -гладким изометрическим вложением.

Геометрия Лобачевского — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных аксиомах, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется её отрицанием.

Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие $\text{[math]}$ класса $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , допускает изометрическое $\text{[math]}$ вложение в $\text{[math]}$ для достаточно большого $\text{[math]}$ .

Неевкли́дова геоме́трия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, которая отличается от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии.

<span class="mw-page-title-main">Погорелов, Алексей Васильевич</span> советский математик

Алексе́й Васи́льевич Погоре́лов — советский математик. Специалист в области выпуклой и дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и теории оболочек. Академик АН СССР / РАН. Лауреат Ленинской премии.

<span class="mw-page-title-main">Ефимов, Николай Владимирович</span>

Никола́й Влади́мирович Ефи́мов — советский математик, член-корреспондент АН СССР (1979). Лауреат Ленинской премии.

<span class="mw-page-title-main">Позняк, Эдуард Генрихович</span>

Эдуа́рд Ге́нрихович Позня́к — математик, профессор кафедры математики физического факультета МГУ, лауреат Государственной премии СССР, заслуженный деятель науки РСФСР.

Иджа́д Ха́кович Саби́тов — советский и российский математик, профессор Московского государственного университета.

Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.

<span class="mw-page-title-main">Кон-Фоссен, Стефан Эммануилович</span> немецкий и советский геометр

Стефан Эммануилович Кон-Фоссен — немецкий и советский геометр.

Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема состоит в том, чтобы

«Определить все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятия угла, и пополнить эти системы аксиомой неравенства треугольника».

H-принцип — общий способ решения дифференциальных уравнений в частных производных и, в более общем плане, дифференциальных соотношений в частных производных. Н-принцип хорош для недоопределённых систем, подобных тем, которые появляются в задачах о погружении, изометрическом погружении и других.

<span class="mw-page-title-main">Лемма о руке</span>

Лемма о руке — лемма в доказательстве теоремы Коши о многогранниках.

Вернер Бой — немецкий математик.

Александровская геометрия — своеобразное развитие аксиоматического подхода в современной геометрии. Идея состоит в замене определённого равенства в аксиоматике евклидова пространства на неравенство.

<span class="mw-page-title-main">Волков, Юрий Александрович (учёный)</span>

Юрий Александрович Волков — советский математик, специалист в области геометрии, доктор физико-математических наук, профессор.

Иоаннис (Джон) Н. Хадзидакис — греческий математик, известный как автор собственного преобразования в дифференциальной геометрии. Его формула для собственного преобразования может быть применена при доказательстве теоремы Гильберта о погружении плоскости Лобачевского, согласно которой не допускается гладкого изометрического погружения в трёхмерное евклидово пространство.

Теорема Адамара о вложении — одно из классических утверждений дифференциальной геометрии поверхностей.

Маломерная топология — направление в топологии, изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.