Теорема Гильберта 90

Теоре́ма Ги́льберта 90 — одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа.

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа Галуа конечного циклического расширения ${\displaystyle E/K,}$ а ${\displaystyle \sigma }$ - её образующая. Тогда норма любого элемента ${\displaystyle \beta \in E}$ равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент ${\displaystyle \alpha \in E}$, что ${\displaystyle \beta ={\frac {\alpha }{\sigma (\alpha )}}.}$

Достаточность очевидна: если ${\displaystyle \beta ={\frac {\alpha }{\sigma (\alpha )}},}$ то, учитывая мультипликативность нормы, имеем ${\displaystyle N(\beta )={\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))}}.}$ Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех ${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha ),}$ а применение ${\displaystyle \sigma }$ к такому произведению приводит лишь к перестановке сомножителей, то ${\displaystyle {\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))}}={\frac {N(\alpha )}{N(\alpha )}}=1.}$

Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:

${\displaystyle \mathrm {id} +\beta \sigma +\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{n-2}(\beta )\sigma ^{n-1}).}$

Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является нулевым. Поэтому существует элемент ${\displaystyle \gamma \in E,}$ для которого

${\displaystyle 0\neq \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma )+\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{n-2}(\beta )\sigma ^{n-1}(\gamma ).}$

Если применить отображение ${\displaystyle \sigma }$ к ${\displaystyle \alpha ,}$ а потом помножить полученное выражение на ${\displaystyle \beta ,}$ то первое слагаемое перейдёт во второе и т. д., а последнее перейдёт в первое, так как ${\displaystyle \beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{n-2}(\beta )\sigma ^{n-1}(\beta )=N(\beta )=1.}$

Тогда получаем, что ${\displaystyle \beta \sigma (\alpha )=\alpha ,}$ деля на ${\displaystyle \sigma (\alpha )\neq 0}$ имеем ${\displaystyle \beta ={\frac {\alpha }{\sigma (\alpha )}}.}$ Необходимость доказана.

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа Галуа конечного циклического расширения ${\displaystyle E/K,}$ а ${\displaystyle \sigma }$ - её образующая. Тогда след элемента ${\displaystyle \beta \in E}$ равен 0 тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой элемент ${\displaystyle \alpha \in E,}$ что ${\displaystyle \beta =\alpha -\sigma (\alpha ).}$

Доказательство достаточности полностью аналогично мультипликативному случаю, а для необходимости рассматриваем элемент ${\displaystyle \gamma \in E,}$ для которого ${\displaystyle \mathrm {tr} \gamma \neq 0}$ и строим требуемое ${\displaystyle \alpha }$ в виде:

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\mathrm {tr} \gamma }}[\beta \sigma (\gamma )+(\beta +\sigma (\beta ))\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma ^{n-2}(\beta ))\sigma ^{n-1}(\gamma )|.}$

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967. — С. 243-244.

• Когомологии Галуа^[англ.]