Теорема Грина — Тао

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году^[1], согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

Формулировка

Хотя теорема Грина — Тао известна только доказательством самого факта присутствия сколько угодно длинных прогрессий в множестве простых чисел, однако имеются^[2] значительные усиления этого утверждения: во-первых, утверждение остаётся верным для произвольного множества простых чисел положительной плотности (относительно множества всех простых чисел); во-вторых, имеются отдельные верхние оценки того, насколько большими могут быть элементы минимальной прогрессии в рассматриваемом множестве.

Далее в формулировках $\mathbb {P}$ означает множество простых чисел. Запись $\log _{[k]}x$ означает $\log \log \dots \log x$ , где логарифм берётся $k$ раз.

Теорема Грина — Тао

Пусть $A$ — множество простых чисел, и его плотность относительно простых $\delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$ строго положительна. Тогда для любого $k\geqslant 2$ множество $A$ содержит арифметическую прогрессию длины $k$ .

В своей отдельной более ранней работе^[3] Грин доказал результат, касающийся функции распределения множества $A$ , но только для частного случая трёхчленной прогрессии.

Существует константа $c$ такая, что если для множества простых чисел $A\subset \{1,\dots ,N\}$ выполнено $|A|>c{\frac {N{\sqrt {\log _{[5]}N}}}{\log {N}{\sqrt {\log _{[4]}N}}}}$ , то оно содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

Поскольку требуемая функция асимптотически меньше количества простых чисел на отрезке $[1,n]$ , то теорема остаётся верна для бесконечных множеств положительной плотности, когда $|A\cap \{1,\dots ,N\}|>\delta {\frac {N}{\log N}}$ , $\delta >0$ . Таким образом, можно переформулировать последнюю теорему для фиксированной плотности.

Существует константа $c$ такая, что для любого множества простых чисел $A\subset \{1,\dots ,N\}$ и его плотности $\delta ={\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$ будет выполнено следствие: если $N\geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta ^{2}\right)^{c/\delta ^{2}}\right)}}}$ , то $A$ содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

Примеры

18 января 2007 года Ярослав Вроблевский нашёл первый случай арифметической прогрессии из 24 простых чисел^[4]:
468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 23.

Здесь константа 223 092 870 — это произведение простых чисел, не больших 23 (см. примориал).

17 мая 2008 года Вроблевский и Раанан Чермони нашли последовательность из 25 простых чисел:
6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 24.
12 апреля 2010 года Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел:
43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 25 (последовательность A204189 в OEIS).

Вариации и обобщения

В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий^[5]. Более точно, для любых заданных полиномов с целыми коэффициентами P₁, …, P_k одной переменной m с нулевым постоянным членом имеется бесконечно много целых x, m, таких, что x + P₁(m), …, x + P_k(m) — простые числа. Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m, …, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеются арифметические прогрессии простых чисел длины k).