Теорема Грушко о разложении

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Грушко о разложении даёт единственное разложение конечно порождённой группы в свободное произведение групп.

Доказана Игорем Александровичем Грушко в 1940 году и независимо Бернардом Нойманом[нем.] в 1943 году.

Эта теорема является теоретико-групповым аналогом теоремы Кнесера о разложении для 3-мерных многообразий, которая утверждает, что любое замкнутое 3-мерное многообразие представляется как связная сумма неприводимых 3-мерных многообразий.

Формулировка

Любая нетривиальная конечно порожденная группа может быть разложена как свободное произведение

,

где каждая из группа нетривиальна и не свободная (в частности не бесконечная циклическая группа), и свободная группа ранга . Более того, это разложение единственно с точностью до перестановки.

Замечания

  • Существование разложения следует из теоремы Глушко о том, что ранг свободного произведения конечнопорождённых групп равен сумме рангов; то есть
для любой пары конечнопорождённых групп и . Единственность требует дополнительного рассуждения.

Литература

  • И. А. Грушко. О базисах свободного произведения групп // Математический сборник. — 1940. — Т. 8(50), № 1. — С. 169–182.
  • B. H. Neumann. On the number of generators of a free product. Journal of the London Mathematical Society, vol 18, (1943), pp. 12—20.