Теорема Дирихле о диофантовых приближениях

Теорема Дирихле о диофантовых приближениях гласит, что^[1]

Для любого вещественного числа $\alpha$ и натурального Q существуют целые p и q, $1\leqslant q\leqslant Q$ , удовлетворяющие условию

|\alpha q-p|<{\frac {1}{Q}}

Она является следствием принципа Дирихле. Теорема была доказана Дирихле в 1842 году.

Некоторые следствия

Пусть $\alpha$ — иррациональное число. Тогда существует бесконечное множество несократимых дробей ${\frac {p}{q}},$ неограниченно близких к $\alpha$ в следующем смысле^[1]:

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}

Практическое построение таких приближений несложно выполнить с помощью цепных дробей.

Вариации и обобщения

Принцип Дирихле позволяет доказать и более общую теорему:

для любых вещественных чисел $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ и натурального $Q>1$ существуют такие целые $0<q<Q,a_{1},...,a_{n}$ , что

|\alpha _{i}q-a_{i}|<{\frac {1}{\sqrt[{n}]{Q}}}

Примечания

↑ ¹ ² Нестеренко Ю. В., 2008, с. 187—189.

Литература

Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр "Академия", 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.

Похожие исследовательские статьи

Алгебраи́ческое число́ над полем $\text{[math]}$ — элемент алгебраического замыкания поля $\text{[math]}$ , то есть корень многочлена с коэффициентами из $\text{[math]}$ .

Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.

Непрерывная дробь — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

\text{[math]}

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

\text{[math]}

Теоре́ма Нётер или первая теорема Нётер утверждает, что каждой дифференцируемой симметрии действия для физической системы с консервативными силами соответствует закон сохранения. Теорема была доказана математиком Эмми Нётер в 1915 году и опубликована в 1918 году. Действие для физической системы представляет собой интеграл по времени функции Лагранжа, из которого можно определить поведение системы согласно принципу наименьшего действия. Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям над физическим пространством.

Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если $\text{[math]}$ — алгебраическое число степени $\text{[math]}$ , а $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ — любые целые числа $\text{[math]}$ , то имеет место неравенство

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Принцип Дирихле (комбинаторика)</span>

При́нцип Дирихле́ — простой, интуитивно понятный и часто полезный метод для доказательства утверждений о конечном множестве. Этот принцип часто используется в дискретной математике, где устанавливает связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий. В английском и некоторых других языках данное утверждение известно как «принцип голубей и ящиков», когда объектами являются голуби, а контейнерами — ящики.

Мультипликативная функция в теории чисел ― арифметическая функция $\text{[math]}$ , такая, что для любых взаимно простых чисел $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ выполнено:

\text{[math]}

В физике и математике уравнением Гамильтона — Якоби называется уравнение вида

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Карацуба, Анатолий Алексеевич</span> советский и российский математик

Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба — советский и российский математик. Создатель первого быстрого метода в истории математики — метода умножения больших чисел.

При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты, называемые иррациональными числами. В результате пополнения ими множества рациональных чисел, мы получаем множество вещественных чисел.

Теорема тангенсов — теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам.

Мера иррациональности действительного числа $\text{[math]}$ — это действительное число $\text{[math]}$ , показывающее, насколько хорошо $\text{[math]}$ может быть приближено рациональными числами.

В теории чисел факторизация методом непрерывных дробей (CFRAC) — это алгоритм разложения целых чисел на простые множители. Это алгоритм общего вида, пригодный для факторизации произвольного целого $\text{[math]}$ .

Теорема Риса — Торина — утверждение о свойствах интерполяционных пространств. Была сформулирована в 1926 году Марселем Рисом, и в операторной форме сформулирована и доказана Улофом Ториным в 1939 году.

Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.

Теория трансценде́нтных чисел — раздел теории чисел, изучающий трансцендентные числа, то есть числа, которые не могут быть корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Например, такие важнейшие константы анализа, как $\text{[math]}$ и e, являются трансцендентными, а $\text{[math]}$ не является, поскольку $\text{[math]}$ есть корень многочлена $\text{[math]}$ .

Гипотеза Зарембы — утверждение теории чисел о представлениях несократимых дробей через непрерывные дроби: существует абсолютная константа $\text{[math]}$ со следующим свойством: для любого $\text{[math]}$ существует $\text{[math]}$ такое, что $\text{[math]}$ и для разложения:

\text{[math]}

Число Брюно — иррациональное число $\text{[math]}$ , для которого конечна функция Брюно $\text{[math]}$ — бесконечная сумма:

\text{[math]}

В теории чисел теорема Виноградова является результатом, из которого следует, что любое достаточно большое нечётное целое число может быть записано как сумма трёх простых чисел. Это более слабая форма слабой гипотезы Гольдбаха, которая подразумевает существование такого представления для всех нечётных целых чисел, превышающих пять.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.