Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

Дирихле доказал, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l и k справедливо следующее:

Пусть $l,k>0$ — целые числа, и $(l,k)=1$ .

Тогда существует бесконечно много простых чисел $p$ таких, что $p\equiv l{\pmod {k}}$ .

История доказательств

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательства теоремы элементарными методами^[1]. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации

При рассмотрении простых $p\equiv l{\pmod {k}}$ довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы, Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах $l$ и $k$ :

\lim _{s\to 1+}{\frac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}={\frac {1}{\varphi (k)}},

где суммирование ведётся по всем простым числам $p$ с условием $p\equiv l{\pmod {k}}$ , а $\varphi$ — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов ${\bmod {k}}$ , поскольку

\lim _{s\to 1+}{\dfrac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}=1,

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимно простых чисел $l$ и $k$ ряд $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}$ , где суммирование ведётся по простым $p\equiv l{\pmod {k}}$ , расходится.

См. также

Характеры — основной математический инструмент изучения простых чисел в арифметической прогрессии

Примечания

↑ Ю. В. Линник, А. О. Гельфанд. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — Физматгиз, 1962.

Литература

Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1986.

Похожие исследовательские статьи

Ма́лая теоре́ма Ферма́ — теорема теории чисел, которая утверждает, что:

Если $\text{[math]}$ — простое число и $\text{[math]}$ — целое число, не делящееся на $\text{[math]}$ то $\text{[math]}$ делится на $\text{[math]}$

Сравне́ние двух целых чисел по мо́дулю натурального числа $\text{[math]}$ — математическая операция, позволяющая ответить на вопрос о том, дают ли два выбранных целых числа при делении на $\text{[math]}$ один и тот же остаток. Любое целое число при делении на $\text{[math]}$ даёт один из $\text{[math]}$ возможных остатков: число от 0 до $\text{[math]}$ ; это значит, что все целые числа можно разделить на $\text{[math]}$ групп, каждая из которых отвечает определённому остатку от деления на $\text{[math]}$ . Эти группы называются классами вычетов по модулю $\text{[math]}$ , а содержащиеся в них целые числа — вычетами по модулю $\text{[math]}$ .

Те́ст Люка́ — Ле́мера — полиномиальный, детерминированный и безусловный тест простоты для чисел Мерсенна. Сформулирован Эдуардом Люка в 1878 году и доказан Лемером в 1930 году.

Функция Мёбиуса $\text{[math]}$ — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Характер, это определённая арифметическая функция, которая возникает из вполне мультипликативных характеров на обратимых элементах $\text{[math]}$ . Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если $\text{[math]}$ является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством

\text{[math]}

Целое число $\text{[math]}$ называется квадратичным вычетом по модулю $\text{[math]}$ , если разрешимо сравнение:

\text{[math]}

Китайская теорема об остатках — несколько связанных утверждений о решении линейной системы сравнений.

<span class="mw-page-title-main">Функция Эйлера</span> мультипликативная арифметическая функция

Фу́нкция Э́йлера $\text{[math]}$ — мультипликативная арифметическая функция, значение которой равно количеству натуральных чисел, меньших либо равных $\text{[math]}$ и взаимно простых с ним.

Первообразный корень по модулю m ― целое число g такое, что

\text{[math]}

Алгоритм Адлемана — первый субэкспоненциальный алгоритм дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Алгоритм был предложен Леонардом Максом Адлеманом в 1979 году. Леонард Макс Адлеман — американский учёный-теоретик в области компьютерных наук, профессор компьютерных наук и молекулярной биологии в Университете Южной Калифорнии. Он известен как соавтор системы шифрования RSA и ДНК-вычислений. RSA широко используется в приложениях компьютерной безопасности, включая протокол HTTPS.

Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что

Если $\text{[math]}$ простое число, то формула $\text{[math]}$ делится на $\text{[math]}$ .

Показателем, или мультипликативным порядком, целого числа $\text{[math]}$ по модулю $\text{[math]}$ называется наименьшее положительное целое число $\text{[math]}$ , такое, что

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Карацуба, Анатолий Алексеевич</span> советский и российский математик

Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба — советский и российский математик. Создатель первого быстрого метода в истории математики — метода умножения больших чисел.

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел, которая утверждает, что функция распределения простых чисел $\text{[math]}$ растёт с увеличением $\text{[math]}$ как $\text{[math]}$ , то есть:

\text{[math]}

, когда

\text{[math]}

Теорема Вольстенхольма утверждает, что для любого простого числа $\text{[math]}$ выполняется сравнение

\text{[math]}

Гипотеза Буняковского гласит, что если $\text{[math]}$ — целозначный неприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех его значений в целых точках, то целозначный многочлен $\text{[math]}$ принимает бесконечно много простых значений.

Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение, высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любого конечного набора линейных форм $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ , имеется бесконечно много натуральных чисел n, для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее эту возможность.

Функция Кармайкла — теоретико-числовая функция, обозначаемая $\text{[math]}$ , равная наименьшему показателю $\text{[math]}$ такому, что

\text{[math]}

Алгори́тм Тоне́лли — Ше́нкса относится к модулярной арифметике и используется для решения сравнения

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Тригонометрическая сумма</span>

Тригонометрическая сумма — это конечная сумма комплексных чисел, геометрически соответствующих векторам на единичной окружности, то есть вида $\text{[math]}$

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.