Теорема Дирихле о рядах Фурье

Теорема Дирихле о разложении периодической функции в ряд Фурье.

Пусть f(x) — периодическая функция с периодом 2 π, пусть на интервале от -π до π функция f(x) имеет конечное количество точек строгого экстремума и может иметь конечное количество точек разрыва, причем только первого рода, тогда такая функция разлагается в ряд Фурье:

${\displaystyle {\frac {(f(x-0)+f(x+0))}{2}}={\frac {a_{0}}{2}}+\sum (a_{n}\cdot \cos(nx)+b_{n}\cdot \sin(nx))}$

где a₀, a_n, b_n — коэффициенты Фурье:

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx,}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos(nx)dx,}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\sin(nx)dx,}$

f(x-0) и f(x+0) — левосторонний и правосторонний пределы функции f в точке x.

Если x — точка непрерывности функции f(x), то

${\displaystyle f(x-0)=f(x+0)\Rightarrow {\frac {f(x-0)+f(x+0)}{2}}=f(x).}$

То есть в точках непрерывности ряд Фурье сходится к значению этих точек, а в точках разрыва к среднему арифметическому между левосторонним и правосторонним пределами.

1. ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления В 3 т. Т III. / Пред. и прим. А. А. Флоринского. — 8-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — С. 492-493. — 728 с. — ISBN 978-5-9221-0466-1.