Теорема Кейси
Теорема Кейси или Кэзи — теорема в евклидовой геометрии, обобщающая неравенство Птолемея. Названа по имени ирландского математика Джона Кейси.
Формулировка
Пусть — окружность радиуса . Пусть — (в указанном порядке) четыре непересекающихся окружности, лежащие внутри и касающиеся её. Обозначим через длину отрезка между точками касания внешней общей касательной окружностей . Тогда[1]:
В вырожденном случае, когда все четыре окружности сводятся к точкам (окружности радиуса 0), получается в точности теорема Птолемея.
Замечания
Теорема Кейси справедлива для шести попарных касательных четырёх окружностей, касающихся одной общей окружности не только внутренним образом, как разобрано выше, но и внешним образом, как показано на рис. ниже.
При этом выполняется обычная формула теоремы Кэйси:
- .
- В вырожденном случае, когда три из четырёх окружностей сводятся к точкам (окружности радиуса 0), и одна сторона четырёхугольника вырождается в точку, а три оставшиеся стороны четырёхугольника образуют равносторонний треугольник, получается в точности обобщённая теорема Помпею.
- В вырожденном случае, когда все четыре окружности сводятся к точкам (окружности радиуса 0), в последнем случае также получается теорема Птолемея.
Доказательство
Следующее доказательство принадлежит (согласно Боттема[2]) Цахариасу[3]. Обозначим радиус окружности через , а точку касания с окружностью через . Будем использовать обозначения для центров окружностей. Заметим, что из теоремы Пифагора следует
Попробуем выразить длины через точки . По теореме косинусов в треугольнике ,
Поскольку окружности касаются,
Пусть — точка на окружности . Согласно теореме синусов в треугольнике
Так что,
и после подстановки полученного выражения в формулу выше,
Наконец, искомая длина
Теперь можно преобразовать левую часть с помощью теоремы Птолемея применительно к вписанному четырёхугольнику :
Вариации и обобщения
Можно показать, что четыре окружности не обязательно должны лежать внутри большой окружности. Фактически, они могут также касаться её и снаружи. В этом случае следует сделать следующие изменения[4]:
- Если касаются с одной стороны (обе изнутри или обе снаружи), — длина отрезка внешних касательных.
- Если касаются с разных сторон (одна изнутри, другая снаружи), — длина отрезка внутренних касательных.
- Обратное утверждение теореме Кейси также верно[4]. Таким образом, если равенство выполняется, окружности касаются.
- Например, для рис. ниже имеем: .
- Понятия "длина отрезка внешних касательных" и "длина отрезка внутренних касательных" могут ввести в заблуждение, ибо эти касательные могут быть проведены как внутри, так и снаружи общей связующей окружности, поскольку сходственные пары касательных двух окружностей всегда равны. Тут важнее оперировать не понятиями "внешних касательных" и "внутренних касательных", а понятиями наибольшей и наименьшей касательной для двух окружностей, ибо к двум окружностям можно провести две пары сходственных касательных, всегда равные для каждой пары, но не равные между разными парами касательных. Это прекрасно видно при сравнении двух рисунков.
- Как располагается пара окружностей относительно одного из двух возможных типов проведенных к ним общих касательных можно узнать по значению их инверсного расстояния I, которое может принимать 3 значения: 0, +1 и -1.
Приложения
Теорему Кейси и ей обратную можно использовать для доказательства различных утверждений евклидовой геометрии. Например, самое короткое известное доказательство[5] теоремы Фейербаха использует обратную теорему Кейси.
Примечания
- ↑ Casey, 1866.
- ↑ Bottema, 1944.
- ↑ Zacharias, 1942.
- ↑ 1 2 Johnson, 1929.
- ↑ Casey, 1866, с. 411.
Литература
- John Casey. On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane // Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1866. — № 9. — С. 396—423. — .
- M. Zacharias. Der Caseysche Satz // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1942. — Т. 52. — С. 79—89.
- O. Bottema. Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. — of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987. — Springer 2008 (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry), 1944.
- Roger A. Johnson. Modern Geometry. — Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry), 1929.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Casey's theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem (недоступная ссылка)