Теорема Киршбрауна о продолжении

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Киршбрауна о продолжении (иногда называется теорема Валентайн) — теорема о существовании продолжения липшицевой функции определённой на подмножестве евклидова пространства на всё пространство.

Формулировка

Пусть произвольное подмножество евклидова пространства , тогда произвольное короткое отображение можно продолжить до короткого отображения ; иначе говоря, существует короткое отображение такое, что .

Вариации и обобщения

  • Естественно обобщается на
  • Аналогичный результат для отбражений между сферами не верен, однако теорема остаётся верной для
    • Отображения из подмоножества сферы в полусферу той же кривизны.
    • Отображения из подмоножества сферы в сферу той же кривизны не меньшей размерности.
  • Аналогичный результат для банаховых пространств неверен.

Метрическая геометрия

  • Обобщение теоремы Киршбрауна на метрические пространства дано Лэнгом и Шрёдерем[1][2]
  • Любое короткое отображение определённое на подмножестве произвольного метрического пространства со значениями в инъективном пространстве допускает короткое продолжение на всё пространство. Это даёт другое обобщение теоремы на метрические пространства. К инъективным пространствам относятся вещественная прямая и метрические деревья а также -пространства.
  • Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если — метрическое пространство со свойством удвоения и и — банахово пространство, то любое -Липшицево отображение продолжается до -Липшицева отображения , где константа зависит только от параметра в свойстве удвоения.[3]

История

Была доказана в диссертации Мойжеша Киршбрауна (защищена в 1930)[4]. Позже эту теорему передоказал Фредерик Валентайн[5].

См. также

Примечания

  1. Lang, U.; Schroeder, V. Kirszbraun's theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7 (1997), no. 3, 535–560.
  2. Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov meets Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.
  3. 4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
  4. M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math., (22):77-108, 1934.
  5. F. A. Valentine, "On the extension of a vector function so as to preserve a Lipschitz condition, "Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, pp. 100—108, 1943.