Теорема Коши — Пуанкаре

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Коши — Пуанкаре является обобщением на случай многомерного комплексного пространства интегральной теоремы Коши. Была доказана А. Пуанкаре в 1886 г.

Формулировка

Пусть  — комплексное многообразие (комплексной) размерности и  — голоморфная форма степени на этом многообразии. Тогда интеграл от по границе любой  — мерной цепи равен нулю:

Доказательство

В локальных координатах , действующих в окрестности , голоморфная форма имеет вид: , где  — голоморфная в функция. В силу голоморфности и, значит ; по свойствам внешнего произведения получаем, следовательно, что , то есть что форма замкнута. В силу формулы Стокса, интеграл от замкнутой формы по границе равен нулю: . Поэтому мы заключаем, что интеграл равен нулю.

Литература

  • Б. В. Шабат Введение в комплексный анализ, часть II, Функции нескольких переменных, М., Наука, 1985