Теорема Лебега о разложении меры

Вводные определения

Пусть ${\displaystyle F}$ — монотонно неубывающая функция, непрерывная слева ^[1] и такая, что ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)-\lim _{x\to -\infty }F(x)<+\infty }$. Введём на полукольце всех промежутков вида ${\displaystyle [a,\;b)}$ меру ${\displaystyle m}$ по следующему правилу: ${\displaystyle m[a,\;b)=F(b)-F(a)}$. Эту меру можно продолжить на борелевскую сигма-алгебру. При этом меры промежутков с концами ${\displaystyle a,\;b}$ будут заданы следующим образом.

${\displaystyle m[a,\;b)=F(b)-F(a)}$,

${\displaystyle m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)}$,

${\displaystyle m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)}$,

${\displaystyle m[a,\;b]=F(b+0)-F(a)}$,

Здесь ${\displaystyle F(a+0)}$ - правосторонний предел функции ${\displaystyle F(x)}$ в точке ${\displaystyle a}$ (он существует, поскольку функция ${\displaystyle F(x)}$ неубывающая).

Мера ${\displaystyle m}$ может быть продолжена на подмножества числовой прямой по Лебегу. При этом получится ${\displaystyle \mu _{F}}$ — мера Стилтьеса.

Частные случаи производящей функции ${\displaystyle F}$:

• ${\displaystyle F}$ — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество ${\displaystyle A}$ — из конечного или счётного числа точек (скаляров).

${\displaystyle \mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}}$ — дискретная мера.

• Функция F непрерывна, монотонно не убывает на ${\displaystyle [a,\;b]}$, на ${\displaystyle (a,\;b)}$ ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$.

${\displaystyle \mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx}$ — абсолютно непрерывная мера.

• ${\displaystyle F}$ — сингулярная функция (например, лестница Кантора, где приращение ${\displaystyle F}$ равно 1 на всём отрезке, но почти всюду ${\displaystyle const}$). Мера сосредоточена в точках роста функции.

Теорема разложения меры