Теорема Лежандра

Теорема Лежандра — утверждение об условиях существования решений для некоторого подкласса квадратичных диофантовых уравнений, установленное Лежандром в 1785 году.

Уравнение

${\displaystyle aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}=0,}$

у которого не все коэффициенты одного знака и ${\displaystyle a,b,c}$ — попарно взаимно простые числа, имеет нетривиальное решение в целых числах ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ тогда и только тогда, когда:

• ${\displaystyle -ab}$ — квадратичный вычет по модулю ${\displaystyle c}$,
• ${\displaystyle -bc}$ — квадратичный вычет по модулю ${\displaystyle a}$,
• ${\displaystyle -ca}$ — квадратичный вычет по модулю ${\displaystyle b}$.

Необходимость этих условий очевидна, достаточность следует из теоремы Минковского — Хассе для квадратичных форм: квадратичная форма представляет нуль в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ тогда и только тогда, когда она представляет нуль в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и во всех полях ${\displaystyle p}$-адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. Для разрешимости в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ нужны разные знаки, для разрешимости в ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ для ${\displaystyle p\mid abc}$ — вышеприведённые симметричные соотношения.

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985. — С. 77-80. — 504 с.