Теорема Лежандра о трёх квадратах

Теорема Лежандра о трёх квадратах утверждает, что натуральное число может быть представлено суммой трёх квадратов целых чисел

${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

тогда и только тогда, когда n не представимо в виде ${\displaystyle n=4^{a}(8b+7)}$, где a и b целые.

В частности, числами, не представимыми суммой трёх квадратов и представимыми в виде ${\displaystyle n=4^{a}(8b+7)}$, являются

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, ... (последовательность A004215 в OEIS).

Пьер Ферма дал критерий представимости чисел вида ${\displaystyle 3n+1}$ суммой трёх квадратов, но не привёл доказательства. Николас де Бегелин заметил в 1774 году^[1], что всякое натуральное число, не представимое в форме ${\displaystyle 8b+7}$ и в форме ${\displaystyle 4b}$, есть сумма не более трёх квадратов, но не представил удовлетворительного доказательства.^[2] В 1796 году Гаусс доказал, что любое натуральное число есть сумма не более трёх треугольных чисел. Из этого следует, что ${\displaystyle 8n+3}$ сумма не более трёх квадратов. В 1797 или 1798 году Лежандр получил первое доказательство теоремы о трёх квадратах.^[3] В 1813 году Коши заметил^[4], что теорема Лежандра эквивалентна вышеприведенной формулировке. Ранее, в 1801 году, Гаусс получил более общий результат,^[5] следствием которого была теорема Лежандра. В частности, Гаусс сосчитал число решений для целочисленного уравнения трёх квадратов и одновременно дал обобщение ещё одного результата Лежандра,^[6] доказательство которого было неполным. Это, вероятно, послужило причиной ошибочных заявлений, что доказательство Лежандра было неполным и завершено Гауссом.^[7]

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов и теорема о трёх квадратах дают полное решение проблемы Варинга для k = 2.

Доказательство того, что числа ${\displaystyle n=4^{a}(8b+7)}$ не представимы суммой трёх квадратов несложное и вытекает из того, что любой квадрат по модулю 8 конгруэнтен 0, 1 или 4.

Существует несколько доказательств того, что остальные числа представимы суммой трёх квадратами, помимо доказательства Лежандра. Доказательство Дирихле 1850 года стало классическим.^[8] В его основе лежат три леммы:

• Квадратичный закон взаимности,
• Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии,
• Класс эквивалентности тривиальной трёхчленной квадратичной формы.

Гаусс отметил,^[9] что теорема о трёх квадратах позволяет легко доказать теорему о четырёх квадратах. Однако доказательство теоремы о трёх квадратах намного сложнее прямого доказательства теоремы о четырёх квадратах, которая была доказана первой в 1770 году.

• Теорема Ферма — Эйлера
• Теорема Лежандра