Теорема Ли

Теорема Ли — теорема о представлених разрешимых алгебр Ли.

Формулировка

Пусть $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ есть конечномерное представление разрешимой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Тогда $\pi ({\mathfrak {g}})$ имеет инвариантный флаг подпространств $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\operatorname {codim} V_{i}=i$ ; то есть $\pi (X)V_{i}\subset V_{i}$ для каждого $X\in {\mathfrak {g}}$ и i.

Замечания

Другими словами, теорема утверждает, что можно выбрать базис в $V$ $V$ такой, что все линейные преобразования $\pi ({\mathfrak {g}})$ $\pi ({\mathfrak {g}})$ задаются верхнетреугольными матрицaми.
- Это утверждение обобщает результат Фробениуса, о том что коммутирующие матрицы допускают одновременную триангулизацию.

Теорема не выполняется для алгебраически замкнутых полей ненулевой характеристики. Однако утверждение теорем становится верным если размерность $V$ меньше характеристики поля.

Следствия

Теорема применима к присоединенному представлению $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ (конечномерной) разрешимой алгебры ли ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ . Таким образом, можно выбрать базис в ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ , по отношению которого $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$ $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$ состоит из верхних треугольных матриц.
- Из этого следует, что для любых $x,y\in {\mathfrak {g}}$ , $\operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)]$ имеет нулевую диагональ; значит $\operatorname {ad} ([x,y])$ нильпотентен. По теореме Энгеля, это означает, что $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ является нильпотентной алгеброй Ли; обратное утверждение очевидно верно. То есть, конечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем характеристики ноль разрешима, тогда и только тогда, когда производная алгебра $D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ нильпотентна.

Примечания

См. также

Теорема Энгеля — аналогичная теорема о нильпотентных алгебрах Ли.
Теорема Ли — Колчина — аналогичная теорема о разрешимой алгебраических группах.

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий математические объекты линейной природы: векторные пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений. Среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

А́лгебра Ли — объект общей алгебры, являющийся векторным пространством с определенной на ней антикоммутативной билинейной операцией, удовлетворяющей тождеству Якоби. В общем случае алгебра Ли является неассоциативной алгеброй. Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899).

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Присоединённое представление группы Ли — линейное представление группы Ли на своей алгебре Ли. Обычно обозначается $\text{[math]}$ .

Присоединённым представлением алгебры Ли $\text{[math]}$ называется линейное представление $\text{[math]}$ алгебры $\text{[math]}$ в модуле $\text{[math]}$ , действующее по формуле

\text{[math]}

Редуктивная группа — алгебраическая группа $\text{[math]}$ , для которой унипотентный радикал её компоненты единицы $\text{[math]}$ является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля.

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

А́белев дифференциа́л — голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности $\text{[math]}$ .

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Максимальная компактная подгруппа K топологической группы G — это компактное пространство с индуцированной топологией, максимальное среди всех подгрупп. Максимальные компактные подгруппы играют важную роль в классификации групп Ли и, особенно, в классификации полупростых групп Ли. Максимальные компактные подгруппы групп Ли в общем случае не единственны, но единственны с точностью до сопряжённости — они являются существенно сопряжёнными.

В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.

Характеристические классы — это далеко идущее обобщение таких количественных понятий элементарной геометрии, как степень плоской алгебраической кривой или сумма индексов особых точек векторного поля на поверхности. Более подробно они описаны в соответствующей статье. Теория Черна — Вейля позволяет представлять некоторые характеристические классы как выражения от кривизны.

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Теорема Ли — Колчина — это теорема теории представлений линейных алгебраических групп. Теорема Ли является аналогом для линейных алгебр Ли.

Представление группы Ли — это линейное действие группы Ли на векторном пространстве или, что то же самое, гладкий гомоморфизм группы Ли в группу обратимых операторов на векторном пространстве. Играет важную роль в изучении непрерывной симметрии в математике и теоретической физике. Представления групп Ли изучены довольно хорошо, основным инструментом их изучения является использование соответствующих «инфинитезимальных» представлений алгебр Ли.

Теорема Энгеля даёт эквивалентность двух различных определений нильпотентности для алгебр Ли. Названа в честь Фридриха Энгеля.

Подалгебра Картана — нильпотентная подалгебра Ли $\text{[math]}$ , равная своему нормализатору:

$\text{[math]}$ для некоторого $\text{[math]}$ (нильпотентность),
$\text{[math]}$ (самонормализованность).

Преобразование Фурье на группах — обобщение дискретного преобразования Фурье от циклических к локально компактным абелевым группам или произвольным компактным группам.

Полупростая алгебра Ли — алгебра Ли, являющаяся прямой суммой простых алгебр Ли, то есть неабелевых алгебр Ли без нетривиальных идеалов.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.