Теорема Люрота

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Люрота описывает подполя поля рациональных функций от одной переменной $k(x)$ , содержащие поле констант $k$ , другими словами, подрасширения чисто трансцендентного расширения степени трансцендентности 1. Названа в честь Якоба Люрота^[англ.], который доказал её в 1876 году.

Формулировки

Теорема. Пусть $k$ — поле, а $k(x)$ — поле рациональных функций от одной переменной. Тогда каждое подрасширение расширения $k(x)/k$ имеет вид $k(f)$ для некоторой рациональной функции $f$ . Таким образом, оно также является полем рациональных функций от одной переменной.

В геометрических терминах теорема формулируется следующим образом:

Теорема. Пусть $k$ — поле. Пусть $f:\mathbb {P} _{k}^{1}\to C$ — непостоянный морфизм из проективной прямой в неособую кривую $C$ над $k$ . Тогда $C$ изоморфна проективной прямой.

Замечания:

Для степени трансцендентности 2 теорема Люрота остаётся верной в характеристике 0 (теорема Кастельнуово). Более точно, пусть $k$ — алгебраически замкнутое поле характеристики 0 и $L$ — подрасширение $k(x,y)/k$ . Тогда $L$ совпадает с $k$ или изоморфно полю рациональных функций от одной или двух переменных над $k$ . Это не верно в положительной характеристике, что показывают примеры Зарисского и Сиоды^[англ.].
Для степени трансцендентности 3 этот результат не верен даже над $\mathbb {C}$ .
Теорему Люрота нетрудно доказать, используя алгебро-геометрические понятия, такие как род кривой. Тем не менее, хотя эта теорема часто воспринимается как неэлементарная, существуют короткие её доказательства, использующие лишь элементарные факты теории полей. По-видимому, все эти доказательства используют лемму Гаусса о примитивных многочленах.^[1]

Примечания

↑ См., например, Michael Bensimhoun, Another elementary proof of Lüroth's theorem Архивная копия от 30 августа 2017 на Wayback Machine, 2004.

Похожие исследовательские статьи

Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Эллипти́ческая крива́я над полем $\text{[math]}$ — неособая кубическая кривая на проективной плоскости над $\text{[math]}$ , задаваемая уравнением 3-й степени с коэффициентами из поля $\text{[math]}$ и «точкой на бесконечности». В подходящих аффинных координатах её уравнение приводится к виду

\text{[math]}

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.

Алгебраическая кривая, или плоская алгебраическая кривая, — это геометрическое место (множество) точек на плоскости (O;x,y), которое определяется как множество нулей многочлена от двух переменных. Степенью (или порядком) n этой кривой называется степень этого многочлена. Алгебраические кривые степеней n = 1, 2, 3, …, 8 кратко называются прямыми, кониками, кубиками, квартиками, пентиками, секстиками, септиками, октиками соответственно. Например, единичная окружность — это алгебраическая кривая степени 2 (коника), так как она задаётся уравнением x² + y² − 1 = 0.

Поризм Понселе — классическая теорема проективной геометрии. Назван в честь Жан-Виктора Понселе.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Фёдор Алексеевич Богомолов — советский и американский математик, известный своими работами по алгебраической геометрии и теории чисел.

Алгебраическая поверхность — это алгебраическое многообразие размерности два. В случае геометрии над полем комплексных чисел алгебраическая поверхность имеет комплексную размерность два, а потому имеет размерность четыре как гладкое многообразие.

Теорема Хассе об эллиптических кривых, также называемая границей Хассе, даёт оценку числа точек на эллиптической кривой над конечным полем, причём ограничивает значения как сверху, так и снизу. Теорема Хассе эквивалентна определению абсолютного значения корней локальной дзета-функции Е. В этом виде её можно рассматривать как аналог гипотезы Римана для поля функций, ассоциированного с эллиптической кривой.

Абсолютная группа Галуа $\text{[math]}$ поля $\text{[math]}$ — группа Галуа $\text{[math]}$ над $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — сепарабельное замыкание $\text{[math]}$ . Также определяется как группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания поля $\text{[math]}$ , которые оставляют $\text{[math]}$ неподвижным. Абсолютная группа Галуа уникальна с точностью до изоморфизма. Является проконечной группой.

Степень трансцендентности — максимальное число алгебраически независимых элементов в расширении поля. Степень трансцендентности даёт возможность измерения величины расширения.

Теорема Римана — Роха связывает комплексный анализ связных компактных римановых поверхностей с чисто топологическим родом поверхности g, используя методы, которые могут быть распространены на чисто алгебраические ситуации.

Конгруэнц-дзета-функция — прототип для построения важной L-функции Хассе-Вейля, ряд вида

\text{[math]}

Глобальное поле — это поле одного из двух видов:

поле алгебраических чисел, то есть конечное расширение поля рациональных чисел $\text{[math]}$ ,

Обратная задача Галуа — открытая проблема теории Галуа, поставленная в начале XIX века: является ли любая конечная группа группой Галуа некоторого расширения Галуа рациональных чисел $\text{[math]}$ ..

K3-поверхность — связная односвязная компактная комплексная поверхность, допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.

Характеристические классы — это далеко идущее обобщение таких количественных понятий элементарной геометрии, как степень плоской алгебраической кривой или сумма индексов особых точек векторного поля на поверхности. Более подробно они описаны в соответствующей статье. Теория Черна — Вейля позволяет представлять некоторые характеристические классы как выражения от кривизны.

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.