Теорема Массельмана
В евклидовой геометрии теорема Массельмана — это свойство некоторых окружностей, определённых для произвольного треугольника.
Формулировка теоремы
Пусть дан треугольник с вершинами , и . Пусть , и — вершины треугольника отражений , получаемого зеркальным отражением каждой вершины относительно противоположной стороны[1]. Пусть — центр описанной окружности . Рассмотрим 3 окружности , и , проходящие через точки , и соответственно. Теорема утверждает, что эти три окружности Массельмана пересекаются в точке , которая является инверсией относительно описанной вокруг окружности точки Косниты, которая является изогональным сопряжением центра девяти точек треугольника [2].
Общая точка является точкой Гилберта треугольника , которая перечислена как в Энциклопедии центров треугольника[2][3].
История
Теорема предложена как задача Массельманом (J. R. Musselman) и Горматигом (René Goormaghtigh) в 1939 году[4], и доказательство представлено ими в 1941 году[5]. Обобщение этого результата сформулировано и доказано Горматигом[6].
Обобщение Горматига
Обобщение теоремы Массельмана Горматигом не упоминает окружности явно.
Как и прежде, пусть , и — вершины треугольника , и — центр описанной окружности. Пусть — ортоцентр треугольника , то есть пересечение трёх высот. Пусть , и — три точки на отрезках , и , такие что . Рассмотрим 3 прямые , и , перпендикулярные , и через точки , и соответственно. Пусть , и — точки пересечения перпендикуляров с прямыми , и соответственно.
Нойберг (J. Neuberg) в 1884 году заметил, что три точки , и лежат на одной прямой [7]. Пусть — проекция центра описанной окружности на прямую , а — точка на , такая что . Горматиг доказал, что является инверсией относительно описанной вокруг треугольника окружности изогонального сопряжения точки на прямой Эйлера , такой что [8][9].
Примечания
- ↑ D. Grinberg (2003) On the Kosnita Point and the Reflection Triangle Архивная копия от 3 мая 2015 на Wayback Machine. Forum Geometricorum, volume 3, pages 105—111
- ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Musselman's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Clark Kimberling (2014), Encyclopedia of Triangle Centers Архивная копия от 19 апреля 2012 на Wayback Machine, section X(1154) = Gilbert Point. Accessed on 2014-10-08
- ↑ J. R. Musselman and R. Goormaghtigh (1939), Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, volume 46, page 601
- ↑ J. R. Musselman and R. Goormaghtigh (1941), Solution to Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, volume 48, pages 281—283
- ↑ Jean-Louis Ayme, le point de Kosnitza Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine, page 10. Online document, accessed on 2014-10-05.
- ↑ J. Neuberg (1884), Mémoir sur le Tetraèdre. According to Nguyen, Neuberg also states Goormaghtigh’s theorem, but incorrectly.
- ↑ Khoa Lu Nguyen (2005), A synthetic proof of Goormaghtigh’s generalization of Musselman’s theorem Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine. Forum Geometricorum, volume 5, pages 17-20
- ↑ Ion Patrascu and Catalin Barbu (2012), Two new proofs of Goormaghtigh theorem Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine. International Journal of Geometry, volume 1, pages=10-19, issn=2247-9880