Теорема Мергеляна

Теорема Мергеляна — утверждение о возможности равномерного приближения многочленами функций комплексной переменной; установлено доказано советским математиком Сергеем Мергеляном в 1951 году.

Согласно теореме, всякую непрерывную функцию $f\colon K\to \mathbb {C}$ на компакте $K$ со связным дополнением до комплексной плоскости (то есть $\mathbb {C} \setminus K$ — связно), голоморфную на внутренних точках $K$ , возможно равномерно аппроксимировать многочленами.

Теорема является развитием и обобщением теорем Вейерштрасса и Рунге, и широко применяется в различных направлениях комплексного анализа; этот результат увенчал большой цикл работ по теории приближения в комплексном случае. В частности, Лаврентьев в 1936 году доказал утверждение для случая, когда $K$ не имеет внутренних точек, а в 1945 году Келдыш установил результат для случая, когда $K$ является замкнутой областью со связным дополнением.

Метод доказательства, применённый Мергеляном, конструктивен, и остаётся единственным известным конструктивным доказательством результата.

Литература

Мергеляна теорема — статья из Математической энциклопедии. Е. М. Чирка
С. Н. Мергелян. Равномерные приближения функций комплексного переменного // УМН. — Т. 7, № 2 (48). — С. 31—122.
Lennart Carleson. Mergelyan’s theorem on uniform polynomial approximation (англ.) // Math. Scand. — 1964. — Vol. 15.
Dieter Gaier. Lectures on Complex Approximation. — Boston: Birkhäuser, 1987. — ISBN 0-8176-3147-X.
W. Rudin. Real and Complex Analysis. — N. Y.: McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-054234-1.
А. Г. Витушкин. Аналитическая ёмкость множеств в задачах теории приближений // УМН. — 1967. — Т. 22, № 6 (138).
А. Г. Витушкин. Полвека как один день // УМН. — 2002. — Т. 57, № 1 (353).

Похожие исследовательские статьи

Алгебраи́ческое число́ над полем $\text{[math]}$ — элемент алгебраического замыкания поля $\text{[math]}$ , то есть корень многочлена с коэффициентами из $\text{[math]}$ .

Многочле́н — фундаментальное понятие в алгебре и математическом анализе. В простейшем случае многочленом называется функция вещественной или комплексной переменной $\text{[math]}$ следующего вида:

\text{[math]}

, где

\text{[math]}

— фиксированные коэффициенты, причём

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Рациональная функция</span> числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Целая функция — функция, регулярная во всей комплексной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, произведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей плоскости комплексного переменного. Логарифм, квадратный корень не являются целыми функциями.

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексной переменной.

Теорема Рунге в комплексном анализе — утверждение о возможности равномерного приближения голоморфной функции многочленами. Сформулирована Карлом Рунге в 1885 году.

Сергей Никитович Мергеля́н — математик, член-корреспондент АН СССР, действительный член АН Армянской ССР.

В теории функций комплексного переменного в честь Ш. Э. Пикара названы две теоремы, традиционно называемые большая и малая теоремы Пикара.

Теорема Боголюбова «об острие клина» утверждает, что функция нескольких комплексных переменных, голоморфная в двух клиновидных областях с общим острием, на котором она непрерывна, является голоморфной и на острие. Данная теорема используется в квантовой теории поля для построения аналитического продолжения функций Вайтмана. Первая формулировка и доказательство теоремы были приведены Н. Н. Боголюбовым на международной конференции в Сиэтле, США и также опубликованы в монографии. Впоследствии другие доказательства и обобщения теоремы были приведены Йостом и Леманом (1957), Дайсоном (1958), Эпштейном (1960) и другими математиками. Важными применениями теоремы об «острие клина» являются: доказательство дисперсионных соотношений в квантовой теории поля, аксиоматическая квантовая теория поля, теория обобщённых функций, обобщение теоремы Лиувилля.

<span class="mw-page-title-main">Теорема Тейлора</span>

Теорема Тейлора даёт приближение к функции, дифференцируемой k раз, вблизи данной точки с помощью многочлена Тейлора k-го порядка. Для аналитических функций многочлен Тейлора в данной точке является частичной суммой их ряда Тейлора, который, в свою очередь, полностью определяет функцию в некоторой окрестности точки. Точное содержание теоремы Тейлора до настоящего времени не согласовано. Конечно, существует несколько версий теоремы, применимых в различных ситуациях, и некоторые из этих версий содержат оценки ошибки, возникающей при приближении функции с помощью многочлена Тейлора.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.

Тригонометрический многочлен — функция вещественного аргумента, которая является конечной тригонометрической суммой, то есть функция, представленная в виде:

\text{[math]}

Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.

Теория трансценде́нтных чисел — раздел теории чисел, изучающий трансцендентные числа, то есть числа, которые не могут быть корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Например, такие важнейшие константы анализа, как $\text{[math]}$ и e, являются трансцендентными, а $\text{[math]}$ не является, поскольку $\text{[math]}$ есть корень многочлена $\text{[math]}$ .

Теорема Люрота описывает подполя поля рациональных функций от одной переменной $\text{[math]}$ , содержащие поле констант $\text{[math]}$ , другими словами, подрасширения чисто трансцендентного расширения степени трансцендентности 1. Названа в честь Якоба Люрота, который доказал её в 1876 году.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.