Теорема Миди

Теорема Миди — теорема в математике, названная в честь французского математика Миди (M. E. Midy), утверждает, что если в десятичной записи дроби ${\displaystyle a/p}$ (где ${\displaystyle p}$ — простое число) длина записи периода дроби состоит из ${\displaystyle 2n}$ цифр, то есть:

${\displaystyle {\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}},}$

то

${\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=9}$

${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1.}$

Другими словами, сумма цифры в десятичной записи первой половины периода и соответствующей цифры во второй половине равна 9.

Например,

${\displaystyle {\frac {1}{17}}=0,{\overline {0588235294117647}},}$ и ${\displaystyle 05882352+94117647=99999999.}$

Пусть ${\displaystyle h}$ — число цифр в периоде десятичной записи дроби ${\displaystyle a/p}$ (где ${\displaystyle p}$ — простое число). Если ${\displaystyle k}$ — любой делитель числа ${\displaystyle h}$, теорему Миди можно обобщить. Расширенная теорема Миди^[1] постулирует, что если период десятичной записи дроби ${\displaystyle a/p}$ разделить на числа с ${\displaystyle k}$ цифр, то их сумма делится на 10^k − 1.

Например,

${\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}}$

имеет период из 18 цифр. Разделив его на шестизначные числа, получаем:

${\displaystyle 052631+578947+368421=999999.}$

Аналогично, разделив на трехзначные числа:

${\displaystyle 052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.}$

Теорема Миди не зависит от основания системы счисления. Для системы счисления, отличной от десятичной, в ней надо заменить 10 на основание системы — k, а 9 на k-1. Так, например, в восьмеричной системе счисления:

${\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}}$

${\displaystyle 032_{8}+745_{8}=777_{8}}$

${\displaystyle 03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.}$

• Weisstein, Eric W. Midy's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.