Теорема Микеля

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Рисунок, показывающий три окружности, проходящие через вершины треугольника ABC и точки , и , лежащие на смежных сторонах треугольника и пересекающиеся в общей точке M.
Теорема Микеля для различных треугольников

Теорема Микеля — утверждение в планиметрии, связанное с пересечением трёх окружностей, построенных вокруг вершин треугольника. Названа в честь французского математика Огюста Микеля[фр.][1]. Эта теорема — один из нескольких результатов, касающийся окружностей в геометрии, полученный Микеле и опубликованных им в Journal de mathématiques pures et appliquées.

Формулировка

Пусть  — треугольник с произвольными точками , и соответственно на сторонах , и (или на их продолжениях). Опишем три окружности около треугольников , , и Теорема Микеля утверждает, что эти три окружности пересекутся в одной точке , называемой точкой Микеля. Более того, будут равны друг другу три угла (отмечены на рисунке).[2][3]

Частный случай

Если точка Микеля — центр описанной окружности треугольника, а диаметры трех окружностей Микеля равны радиусу описанной окружности треугольника, и каждая из трех окружностей Микеля проходит через общую для них точку — центр описанной окружности, а также через две проекции этого центра на стороны треугольника и через одну из трех вершин, тогда радиусы трех окружностей Микеля одинаковы.

См. также

Примечания

  1. Ostermann, Wanner, 2012, p. 94.
  2. Miquel, Auguste (1838), "Mémoire de Géométrie", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1: 485—487, Архивировано из оригинала 13 февраля 2013, Дата обращения: 30 декабря 2015
  3. Wells, 1991, p. 184 — Wells refers to Miquel’s theorem as the pivot theorem

Литература

  • Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library, vol. 19, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402
  • Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson
  • Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
  • Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
  • Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
  • Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005