Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий математические объекты линейной природы: векторные пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений. Среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.
Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.
Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.
Ама́лия Э́мми Нётер — немецкий математик, наиболее известна своим вкладом в абстрактную алгебру и теоретическую физику. Павел Александров, Альберт Эйнштейн, Жан Дьёдонне, Герман Вейль и Норберт Винер считали её величайшей женщиной в истории математики. В качестве одного из величайших математиков двадцатого века она коренным образом изменила теорию колец, полей и алгебр. В физике теорема Нётер впервые открыла связь между симметрией в природе и законами сохранения.
Редуктивная группа — алгебраическая группа 
, для которой унипотентный радикал её компоненты единицы 
является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля.
Теорема Лежандра — утверждение об условиях существования решений для некоторого подкласса квадратичных диофантовых уравнений, установленное Лежандром в 1785 году.
Теорема Кронекера — Вебера — утверждение в алгебраической теории чисел, согласно которому каждое конечное абелево расширение поля рациональных чисел 
, или, другими словами, каждое алгебраическое числовое поле, чья группа Галуа над является абелевой, — является подполем некоторого кругового поля, то есть поля, полученного присоединением корня из единицы к рациональным числам.
Хельмут Ха́ссе — немецкий математик. Работал в Галле, Марбурге, Гёттингене и Берлине.
В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.
Алгебраическое числовое поле, поле алгебраических чисел — это конечное расширение поля рациональных чисел . Таким образом, числовое поле — это поле, содержащее и являющееся конечномерным векторным пространством над ним. При этом некоторые авторы называют числовым полем любое подполе комплексных чисел — например, М. М. Постников в «Теории Галуа».
Алгебраическая поверхность — это алгебраическое многообразие размерности два. В случае геометрии над полем комплексных чисел алгебраическая поверхность имеет комплексную размерность два, а потому имеет размерность четыре как гладкое многообразие.
Бирациональная геометрия — это раздел алгебраической геометрии, основной задачей которого является классификация алгебраических многообразий с точностью до бирациональной эквивалентности. Это сводится к изучению отображений, которые задаются рациональными функциями, а не многочленами. Отображение может быть не определено в некоторых точках, являющихся полюсами рациональной функции.
Теорема Брука —Райзера —Човла — это результат в комбинаторике блок-схем. Теорема утверждает, что если (v, b, r, k, λ)-схема существует с v = b (симметичная блок-схема), то:
- если v чётно, то k − λ является квадратом;
- если v нечётно,то следующее диофантово уравнение имеет нетривиальное решение:
.
Классификация Энриквеса — Кодайры — это классификация компактных комплексных поверхностей на десять классов. Для каждого из этих классов поверхности этих классов можно параметризовать пространством модулей. Для большинства классов пространства модулей хорошо проработаны, но для класса поверхностей общего типа пространства модулей слишком сложны для явного описания, хотя некоторые компоненты известны.
Глобальное поле — это поле одного из двух видов:
- поле алгебраических чисел, то есть конечное расширение поля рациональных чисел ,
Арифметическая группа — это группа, получаемая как целые точки алгебраической группы, например, 
Арифметические группы возникают естественным образом при изучении арифметических свойств квадратичных форм и других классических областей теории чисел. Они также являются источником для очень интересных примеров римановых многообразий, а потому представляют интерес для дифференциальной геометрии и топологии. Наконец, эти две области объединяются в теорию автоморфных форм, которая является фундаментальной в современной теории чисел.
Дискриминант алгебраического числового поля — это числовой инвариант, который, грубо говоря, измеряет размер алгебраического числового поля. Более конкретно, он пропорционален квадрату объёма фундаментальной области кольца целых чисел и он определяет, какие простые числа разветвляются.
Одиннадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Давида Гильберта, представленная на Втором международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Продолжая теорию квадратичной формы, Гильберт сформулировал задачу следующим образом:
