Теорема Мори

Теорема Мори (англ. Morrie's law) — это случайное название следующего тригонометрического тождества

${\displaystyle \cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}.}$

Это частный случай более общего тождества

${\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}$

при n = 3 и α = 20°. «Теорема Мори» получила своё название благодаря Ричарду Фейнману, который использовал это тождество именно под этим именем. Фейнман употреблял это название потому, что в детстве он узнал указанное тождество от мальчика по имени Мори Якобс и впоследствии запомнил теорему на всю жизнь именно под этим именем.^[1]

Подобное соотношение для синуса также имеет место:

${\displaystyle \sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}}$.

Более того, разделив второе тождество на первое, получим тождество для тангенса:

${\displaystyle \operatorname {tg} (20^{\circ })\cdot \operatorname {tg} (40^{\circ })\cdot \operatorname {tg} (80^{\circ })={\sqrt {3}}=\operatorname {tg} (60^{\circ }).}$

Используем известную формулу для синуса двойного угла

${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).}$

Выразив отсюда ${\displaystyle \cos(\alpha )}$, получим

${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.}$

Тогда имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}$

Перемножая соответственно левые части этих равенств друг на друга, и правые части - друг на друга, получаем:

${\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{n-1}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.}$

После сокращения дробей останется синус из последнего числителя и синус из первого знаменателя, а также 2 в степени n в знаменателе:

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{n}\sin(\alpha )}},}$

Это тождество представляет собой общую форму записи теоремы Мори.

• Weisstein, Eric W. Morrie's Law (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.