Теорема Морли о трисектрисах

Теорема Морли^[1] (или теорема Морлея^[2]) о трисектрисах — одна из теорем геометрии треугольника. Трисектрисами угла называются два луча, делящие угол на три равные части.

Формулировка

Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами правильного (равностороннего) треугольника.

История

Теорема была открыта в 1904 году Фрэнком Морли в связи с изучением свойств кубических кривых. Тогда он упомянул об этой теореме своим друзьям, а опубликовал её двадцать лет спустя в Японии. За это время она была независимо опубликована как задача в журнале Educational Times^[англ.].

Вариации и обобщения

На описанной окружности треугольника $ABC$ существуют ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника $ABC$ , причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.

Если рассмотреть также внешние трисектрисы (то есть трисектрисы внешних углов треугольника), то среди точек пересечения этих 12 прямых существует 27 троек точек, образующих правильные треугольники.

Центр равностороннего треугольника Морли называется первым центром Морли исходного треугольника.^[3]

Равносторонний треугольник Морли перспективен исходному треугольнику; центр перспективы называется вторым центром Морли.

См. также

Трисекция угла — задача о построении трисектрис угла с помощью циркуля и линейки

Примечания

↑ В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2006. — 640 с. — ISBN 5-94057-214-6. Архивировано 18 сентября 2011 года.
↑ Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
↑ 1ST AND 2ND MORLEY CENTERS (неопр.). Дата обращения: 13 апреля 2016. Архивировано 13 декабря 2012 года.

Литература

Cletus O. Oakley and Justine C. Baker, "The Morley trisector theorem," Amer. Math. Monthly 85 (1978) 737—745.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Окружность девяти точек</span> окружность, проходящая через середины сторон треугольника

Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника.

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре.

<span class="mw-page-title-main">Биссектриса</span> прямая, делящая угол пополам

Биссектри́са угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла.

Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону . В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника, совпадать с его стороной или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Ортотреуго́льник — треугольник $\text{[math]}$ , вершины которого являются основаниями высот исходного треугольника $\text{[math]}$ . Для ортотреуго́льника $\text{[math]}$ исходный треугольник $\text{[math]}$ является треугольником трёх внешних биссектрис. Точка пересечения высот исходного треугольника $\text{[math]}$ называется ортоцентром и является центром вписанной окружности ортотреуго́льника $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Ортоцентр</span> точка пересечения высот треугольника

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой $\text{[math]}$ . В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника, вне его или совпадать с вершиной. Ортоцентр относится к замечательным точкам треугольника и перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга как точка X(4).

Поде́рный треугольник точки $\text{[math]}$ относительно $\text{[math]}$ — это треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки $\text{[math]}$ на стороны треугольника $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Медиана треугольника</span> геометрия

Медиа́на треуго́льника ― отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок, а иногда длину этого отрезка. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

Правильный треугольник — треугольник, все стороны которого равны между собой, как следствие, все углы также равны и составляют 60°; дважды равнобедренный треугольник; правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Символ Шлефли — $\text{[math]}$ .

Прямая Симсона — прямая, проходящая через основания перпендикуляров на стороны треугольника из точки на его описанной окружности. Её существование опирается на теорему Симсона.

Точки Аполлония — две такие точки, расстояние от которых до вершин треугольника обратно пропорциональны сторонам, которые противолежат этим вершинам.

<span class="mw-page-title-main">Морли, Фрэнк</span>

Франк Морлей — математик, внёсший большой вклад в алгебру и геометрию.

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Треуго́льник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью.

Точка Ферма — точка плоскости, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной. Точку Ферма также иногда называют точкой Торричелли или точкой Ферма-Торричелли. Точка Ферма даёт решение проблемы Штейнера для вершин треугольника. В английской литературе точку Ферма также называют изогональным центром X(13).

Точки Наполеона в геометрии — пара специальных точек на плоскости треугольника. Легенда приписывает обнаружение этих точек французскому императору Наполеону I, однако его авторство сомнительно. Точки Наполеона относятся к замечательным точкам треугольника и перечислены в Энциклопедии центров треугольника как точки X(17) и X(18).

Точки Торричелли — две точки, из которых все стороны треугольника видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Эти точки в треугольнике — «парные». Иногда эти точки называют точками Ферма или точками Ферма-Торричелли.

Две Точки Торричелли — это точки пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника:
- c соответствующими свободными вершинами равносторонних треугольников, построенных на противолежащих сторонах треугольника (наружу) — первая точка Торричелли
- с соответствующими свободными вершинами правильных треугольников, построенных на противолежащих сторонах внутрь треугольника — вторая точка Торричелли.

Важной составной частью геометрии треугольника является теория фигур и кривых, вписанных в треугольник или описанных около него — окружностей, эллипсов и других.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.