Теорема Мура — Пенроуза о псевдообратной матрице

Теорема Мура — Пенроуза о псевдообратной матрице — утверждение о существовании единственной псевдообратной матрицы для любой матрицы. Доказано независимо Элиакимом Муром в 1920 году и Роджером Пенроузом в 1955 году.

Доказательство утверждения содержит конструктивную процедуру получения такой матрицы. Так, если для данной матрицы ${\displaystyle A}$ её ранг ${\displaystyle {\rm {rank}}A=r}$, то ${\displaystyle A}$ можно представить в виде произведения матриц ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ размера ${\displaystyle m\times r}$ и ${\displaystyle r\times n}$ соответственно, при этом ${\displaystyle ImA=ImC}$ и ${\displaystyle ImA^{*}=ImD^{*}}$. Очевидно,^[] что матрицы ${\displaystyle C^{*}C}$ и ${\displaystyle DD^{*}}$ — невырожденные. Положив ${\displaystyle X=D^{*}(DD^{*})^{-1}(C^{*}C)^{-1}C^{*}}$, имеет место ${\displaystyle AX=C(C^{*}C)^{-1}C^{*}}$ и ${\displaystyle XA=D^{*}(DD^{*})^{-1}D}$, то есть матрицы ${\displaystyle AX}$ и ${\displaystyle XA}$ являются эрмитовыми проекторами на ${\displaystyle ImC=ImA}$ и ${\displaystyle ImD^{*}=ImA^{*}}$ соответственно. Следовательно, ${\displaystyle X}$ — псевдообратная матрица для матрицы ${\displaystyle A}$. Единственность построенной таким образом матрицы показывается следующим образом: если ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ — псевдообратные матрицы для матрицы ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle AX_{1}}$ и ${\displaystyle AX_{2}}$ — эрмитовы проекторы на ${\displaystyle ImA}$, поэтому ${\displaystyle AX_{1}=AX_{2}}$; аналогично, ${\displaystyle X_{1}A=X_{2}A}$, и следовательно ${\displaystyle X_{1}=X_{1}(AX_{2})=(X_{1}A)X_{2}=X_{2}AX_{2}=X_{2}}$^[1].

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.