Теорема Нагумо

Теорема Нагу́мо — теорема существования решения краевой задачи первого рода для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит японскому математику Митио Нагумо^[1]. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение второго порядка с краевыми условиями первого рода:

${\displaystyle y''=f(x,y,y'),\quad x\in (a,b),}$

(1.1)

${\displaystyle y(a)=y^{a},\quad y(b)=y^{b}.}$

(1.2)

Чтобы сформулировать теорему Нагумо для задачи (1.1—1.2), нам понадобится ряд определений.

Пусть функция ${\displaystyle f(x,y,z)}$ определена при всех ${\displaystyle (x,y,z)\in {\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} }$, где ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\subset \mathbb {R} ^{2}}$.

Определение. Будем говорить, что функция ${\displaystyle f(x,y,z)}$ принадлежит классу функций Нагумо^[2] на множестве ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ и писать ${\displaystyle f\in N({\mathfrak {B}})}$, если найдётся такая положительная непрерывная функция ${\displaystyle \varphi (u)}$, что

${\displaystyle 1)\ \forall (x,y,z)\in {\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} \Rightarrow |f(x,y,z)|\leqslant \varphi (|z|),}$

(2.1)

${\displaystyle 2)\ \int _{0}^{\infty }{\frac {u\,du}{\varphi (u)}}=+\infty .}$

(2.2)

Определение. Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи (1.1—1.2) называются соответственно функции ${\displaystyle {\underline {\omega }}(x)}$ и ${\displaystyle {\overline {\omega }}(x)}$, принадлежащие ${\displaystyle C^{2}(a,b)\cap C[a,b]}$, и такие, что

${\displaystyle 1){\begin{array}{c}{\underline {\omega }}(a)<y^{a}<{\overline {\omega }}(a),\\[.5ex]{\underline {\omega }}(b)<y^{b}<{\overline {\omega }}(b);\end{array}}}$

(3.1)

${\displaystyle 2){\begin{array}{c}{\underline {\omega }}''(x)>f(x,{\underline {\omega }}(x),{\underline {\omega }}'(x)),\\[.5ex]{\overline {\omega }}''(x)<f(x,{\overline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}'(x)),\end{array}}\ \forall x\in (a,b).}$

(3.2)

Определение. Классическим решением задачи (1.1—1.2) называется функция ${\displaystyle y(x)}$, принадлежащая ${\displaystyle C^{2}(a,b)\cap C[a,b]}$ и удовлетворяющая уравнению (1.1) при каждом ${\displaystyle x\in (a,b)}$ и каждому из граничных условий (1.2).

Теорема (Нагумо). Пусть существуют такие нижнее ${\displaystyle {\underline {\omega }}(x)}$ и верхнее ${\displaystyle {\overline {\omega }}(x)}$ решения задачи (1.1—1.2), что

${\displaystyle 1)\ \forall x\in [a,b]\Rightarrow {\underline {\omega }}(x)<{\overline {\omega }}(x),}$

(4.1)

${\displaystyle 2)\ f(x,y,z)\in C^{0,1,1}({\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} )\cap N({\mathfrak {B}}),}$

(4.2)

где ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\equiv [a,b]\times [{\underline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}(x)]}$. Тогда существует по крайней мере одно классическое решение ${\displaystyle y(x)}$ задачи (1.1—1.2), принадлежащее ${\displaystyle C^{2}[a,b]}$ и заключённое между барьерными решениями ${\displaystyle {\underline {\omega }}(x)}$ и ${\displaystyle {\overline {\omega }}(x)}$:

${\displaystyle \forall x\in [a,b]\Rightarrow {\underline {\omega }}(x)<y(x)<{\overline {\omega }}(x).}$

(4.3)

Доказательство теоремы Нагумо опирается на метод стрельбы и использует следующие леммы.

Лемма 1. Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ — замкнутая ограниченная область на плоскости ${\displaystyle (x,y)}$ и пусть ${\displaystyle f(x,y,z)\in C({\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} )\cap N({\mathfrak {B}})}$. Тогда любая интегральная кривая уравнения (1.1), проходящая через внутреннюю точку области ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, может быть продолжена в обе стороны до границы этой области.

• Метод стрельбы

• Nagumo M. Über die differenzialgleichung ${\displaystyle y''=f(x,y,y')}$ (нем.) // Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. 3rd Series. — 1937. — Bd. 19, Nr. 10. — S. 861—866. — ISSN 0370—1239.

• Hartman Ph. On Boundary Value Problems for Systems of Ordinary, Nonlinear, Second Order Differential Equations (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1960. — Vol. 96, no. 3. — P. 493—509. — ISSN 0002—9947.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations (англ.) // Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Section 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry. — 1965. — Vol. 12. — P. 17—43. — ISSN 0368—2269.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, II (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1967. — Vol. 10, no. 2 (September). — P. 145—162. — ISSN 0532—8721.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, III (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1968. — Vol. 11, no. 2 (November). — P. 111—129. — ISSN 0532—8721.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, IV (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1969. — Vol. 11, no. 3 (February). — P. 185—195. — ISSN 0532—8721.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, V (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1970. — Vol. 12, no. 3 (February). — P. 239—249. — ISSN 0532—8721.

• Jackson L. K. A Nagumo condition for ordinary differential equations (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1976. — Vol. 57, no. 1. — P. 93—96. — ISSN 0002-9939.

• Grossinho M. do Rosário, Minhós F., Santos A. I. Higher order nonlinear two‐point boundary value problems with sign‐type Nagumo condition (англ.) // Mathematical Models in Engineering, Biology and Medicine: International Conference on Boundary Value Problems: Mathematical Models in Engineering, Biology and Medicine (AIP Conference Proceedings) / Editors: Alberto Cabada, Eduardo Liz, Juan J. Nieto. — Melville, N. Y.: AIP, 2009. — Vol. 1124. — P. 195—204. — ISBN 978-0-7354-0660-5. — ISSN 0094-243X. — doi:10.1063/1.3142933. (недоступная ссылка)

• Bailey P.B., Shampine L.F., Waltman P.E. Chapter 6. Principal Existence Theorems, Chapter 7. Further Existence and Uniqueness Results // Nonlinear Two Point Boundary Value Problems. — 1st Edition. — 111 Fifth Avenue, N. Y.: Academic Press Inc., 1968. — Vol. 44. — 172 p. — (Series Mathematics in Science and Engineering). — ISBN 978-0-12-073350-7.

• А. Б. Васильева, Н. Н. Нефедов. Нелинейные краевые задачи. Архивная копия от 31 мая 2014 на Wayback Machine
• М. Нагумо. О дифференциальном уравнении ${\displaystyle y''=f(x,y,y')}$ (перевод с немецкого).