Теорема Нэша о регулярных вложениях

Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое ${\displaystyle m}$-мерное риманово многообразие ${\displaystyle (V^{m},\;g)}$ класса ${\displaystyle C^{r}}$, ${\displaystyle 3\leqslant r\leqslant \infty }$, допускает изометрическое ${\displaystyle C^{r}}$ вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ для достаточно большого ${\displaystyle n}$.

Установлена американским математиком Джоном Нэшем, Нэш также дал явную оценку ${\displaystyle n\geqslant m(m+1)(3m+11)/2}$, которая позднее несколько раз улучшалась, в частности теорема справедлива для ${\displaystyle n\geqslant m^{2}+10m+3}$^[1].

В доказательстве был введён новый метод решения дифференциальных уравнений, так называемая теорема Нэша — Мозера изначально доказанная Нэшем. Существенное упрощение этой части доказательства было дано Матиасом Гюнтером.^[2] Его метод был слегка упрощён в нескольких заметках Дэна Янга^[3]Теренсa Тао^[4] и Ральфа Хоурда^[5]

• Теорема Нэша — Кейпера — аналогичный результат для ${\displaystyle C^{1}}$-гладких вложений.
• Аналогичная теорема для псевдоримановых многообразий следует из теоремы Нэша, но её можно доказать без использования теоремы Нэша — Мозера. Возможно построить изометрическое вложение в псевдоевклидово пространство только с помощью скручиваний Нэша.
• Любое гладкое компактное финслерово многообразие со строго выпуклыми нормами допускает изометрическое вложение в конечномерное Банахово пространство.^[6].
• Справедлив аналогичный результат для аналитических вложений, установлен также Нэшем, но существенно позднее^[7].
• Теорема Позняка утверждает, что любой диск на плоскости с римановой метрикой ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},g)}$ допускает изометрическое погружение в 4-мерное евклидово пространство.^[8]
  • Вопрос о существовании локального гладкого изометрического вложения в 3-мерное евклидово пространство остаётся открытым.

• Дж. Нэш. Проблема вложений для римановых многообразий // УМН. — 1971. — Т. 26, № 4(160). — С. 173—216.