Теорема Нэша — Кёйпера

Теорема Нэша — Кёйпера утверждает, что любое гладкое короткое вложение (или погружение) $n$ -мерного Риманова многообразия в Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{q}$ при $q>n$ можно аппроксимировать $C^{1}$ -гладким изометрическим вложением (или соответственно погружением).

Формулировка

Термин «изометрическое вложение/погружение» здесь означает соответственно вложение/погружение, которое сохраняет длины кривых.

Более точно:

Пусть $(M,g)$ есть Риманово многообразие и $f\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q}$ есть короткое $C^{\infty }$ -гладкое вложение (или погружение) в Евклидово пространство ${\mathbb {R} }^{q}$ и $q>n$ . Тогда для любого $\varepsilon >0$ существует вложение (или соответственно погружение) $f_{\varepsilon }\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q}$ такое, что

$f_{\varepsilon }$ является $C^{1}$ -гладким,
(изометричность) для любых двух касательных векторов $v,w\in T_{x}(M)$ в касательном пространстве точки $x\in M$ мы имеем:

g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle .

( $C^{0}$ -близость) $|f(x)-f_{\varepsilon }(x)|<\varepsilon$ для всех $x\in M$ .

Этот результат является весьма контринтуитивным. В частности из него следует что любая замкнутая ориентированная поверхность может быть изометрично $C^{1}$ -вложена в произвольно малый трёхмерный шар. Из формулы Гаусса следует, что такое вложение невозможно в классе $C^{2}$ -вложений.

История

Теорема была доказана Нэшем в предположении $q>n+1$ вместо $q>n$ и приведена к настоящему виду Кёйпером с помощью нехитрого трюка.

Вариации обобщения

Теорема Нэша о регулярных вложениях
Теорема Громова о складках утверждает, что для любого короткого отображения из $n$ -мерного риманова многообразия в $\mathbb {R} ^{n}$ существует сколь угодно близкое (негладкое) отображение, сохраняющее длины кривых.

Литература

Н. Х. Кёйпер. О C¹-изометрических вложениях (рус.) // Математика. — 1957. — Т. 1, № 2. — С. 17—28.

Дж. Нэш. C¹-изометрические вложения (рус.) // Математика. — 1957. — Т. 1, № 2. — С. 3—16.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Выворачивание сферы</span>

Выворачивание сферы — процесс перемены местами внешней и внутренней поверхностей сферы в трёхмерном пространстве в рамках условий дифференциальной топологии. Допускается самопересечение поверхностей, но в каждый момент времени она не имеет разрывов и сохраняет гладкость. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться дифференцируемым.

Риманово многообразие, или риманово пространство (M, g), — это (вещественное) гладкое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.

Пространство Кала́би — Яу — компактное комплексное многообразие с кэлеровой метрикой, для которой тензор Риччи обращается в ноль. В теории суперструн иногда предполагают, что дополнительные измерения пространства-времени принимают форму 6-мерного многообразия Калаби — Яу, что привело к идее зеркальной симметрии. Название было придумано в 1985 году, в честь Эудженио Калаби, который впервые предположил, что такие размерности могут существовать, и Яу Шинтуна, который в 1978 году доказал гипотезу Калаби.

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое $\text{[math]}$ -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в $\text{[math]}$ -мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Конформное отображение — непрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.

Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие $\text{[math]}$ класса $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , допускает изометрическое $\text{[math]}$ вложение в $\text{[math]}$ для достаточно большого $\text{[math]}$ .

Теория узлов — изучение вложений одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу $\text{[math]}$ . В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вложения многообразий в целом.

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Изопериметри́ческое нера́венство — геометрическое неравенство, связывающее периметр замкнутой кривой на плоскости и площадь участка плоскости, ограниченной этой кривой. Этот термин также используется для различных обобщений данного неравенства.

Симплектическая геометрия — область дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии, изучающая симплектические многообразия: гладкие многообразия с выбранной замкнутой невырожденной 2-формой.

Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Поверхность Веронезе — алгебраическая поверхность в пятимерном проективном пространстве, которая реализуется как образ вложения Веронезе. Существует также обобщение вложения Веронезе на произвольные размерности проективных пространств. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Веронезе.

Теорема Дарбу — утверждение о том, что для любой симплектической структуры, заданной на многообразии $\text{[math]}$ , у любой точки в $\text{[math]}$ существует открытая окрестность и локальные координаты $\text{[math]}$ в ней, в которых симплектическая форма $\text{[math]}$ принимает канонический вид $\text{[math]}$ .

H-принцип — общий способ решения дифференциальных уравнений в частных производных и, в более общем плане, дифференциальных соотношений в частных производных. Н-принцип хорош для недоопределённых систем, подобных тем, которые появляются в задачах о погружении, изометрическом погружении и других.

Теорема Гильберта о погружении плоскости Лобачевского гласит, что плоскость Лобачевского не допускает гладкого изометрического погружения в трёхмерное евклидово пространство.

Пространство Лобачевского, или гиперболическое пространство размерности $\text{[math]}$ — единственное полное односвязное $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны, равной $\text{[math]}$ . Обычно обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Двумерное пространство Лобачевского $\text{[math]}$ называется плоскостью Лобачевского.

Маломерная топология — направление в топологии, изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.