Теорема Нэша — Мозера
Теорема Нэша — Мозера — одно из обобщений теоремы об обратной функции. Вариант этой теоремы был использован Джоном Форбсом Нэшем при доказательстве теоремы о регулярном вложении. Из его статьи ясно, что его метод может быть обобщен. Юрген Мозер показал, что метод Нэша применим для решения задач о периодических орбитах в небесной механике в теории Колмогорова — Арнольда — Мозера. На сегодняшний день существует несколько версий формулировки, принадлежащие Громову, Гамильтону, Хермандеру, Мозеру, Сен-Раймонду, Шварцу и Сергерарту.
Одно из доказательств теоремы основано на использовании модифицированного варианта процесса Ньютона нахождения решения уравнения. Другие подходы, в частности подходы Нэша и Гамильтона, следуют решению обыкновенного дифференциального уравнения в функциональном пространстве.
Идея доказательства
Этот раздел предназначен только для описания идеи и поэтому намеренно неточен.
Предположим, что — дифференциальный оператор первого порядка определённый на гладких функциях между векторными пространствами, так что он определяет отображение для каждого . Предположим, что при некоторой функции линеаризация имеет правый обратный оператор для любой функции , достаточно близкой к .
Заметим, что композиция и теряет одну производную то есть отображает в . Из этого можно увидеть, что попытки использовать метод Ньютона для нахождения решения терпят провал. То есть если — последовательность функций определяемая итеративно
то из следует, что , и тогда . По тем же соображениям, , , и так далее. Через конечное число шагов итерация должна закончиться, так как она потеряет всякую регулярность, и следующий шаг даже не будет определен.
Для решения этой задачи, Нэш использует сглаживающий оператор который для данной функции , возвращает гладкую функцию близкую к исходной, если велико. Затем определяется «сглаженная» итерация Ньютона
Этот модифицированный процесс не сталкивается с той же трудностью, что и предыдущая «несглаженная» версия, поскольку это итерация в пространстве гладких функций, которая никогда не теряет регулярности.
При правильно выбранных сглаживающих операторах, эта последовательность действительно сходится к решению ; то есть .
Литература
- М. Л. Громов. Сглаживание и обращение дифференциальных операторов // Матем. сб.. — 1972. — Т. 88(130), № 3(7). — С. 382–441.
- Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными. — М.: Мир, 1990. — 536 с. — ISBN 5-03-001297-4, 3-540-12177-3.
- Дж. Нэш. Проблема вложений для римановых многообразий // УМН. — 1971. — Т. 26, № 4(160). — С. 173—216.
- Hamilton, Richard S. (1982), "The inverse function theorem of Nash and Moser" (PDF-12MB), Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 7 (1): 65—222, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2, MR 0656198
- Hörmander, Lars (1976), "The boundary problems of physical geodesy", Arch. Rational Mech. Anal., 62 (1): 1–52, MR 0602181
- Moser, Jürgen (1966a), "A rapidly convergent iteration method and non-linear partial differential equations. I", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 20: 265—315, MR 0199523
- Moser, Jürgen (1966b), "A rapidly convergent iteration method and non-linear partial differential equations. II", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 20: 499—535, MR 0206461
- Nash, John (1956), "The imbedding problem for Riemannian manifolds", Annals of Mathematics, 63 (1): 20—63, doi:10.2307/1969989, JSTOR 1969989, MR 0075639.
- Saint-Raymond, Xavier (1989), "A simple Nash-Moser implicit function theorem", Enseign. Math. (2), 35 (3–4): 217–226, MR 1039945
- Schwartz, J. (1960), "On Nash's implicit functional theorem", Comm. Pure Appl. Math., 13: 509–530, MR 0114144
- Sergeraert, Francis (1972), "Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications", Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 5: 599–660, MR 0418140