Любая область плоскости, ограниченная гладкой замкнутой кривой с кривизной не более 1, содержит круг радиуса 1.
Четыре соприкасающиеся окружности лежащие по одну сторону от данной замкнутой кривой.
Вариации и обобщения
Из доказательства Пестова и Ионина следует более сильное утверждение: для любой простой гладкой замкнутой регулярной кривой на плоскости существуют две точки соприкасающаяся окружность в которых содержится в замкнутой области внутри кривой; также существуют две точки соприкасающаяся окружность в которых содержится во внешней замкнутой области кривой.
Точки в которых соприкасающаяся окружность лежит по одну сторону от кривой являются вершинами кривой, а значит приведённое утверждение является усилением теоремы о четырёх вершинах.[3]
Аналогичный результат в пространстве не верен, а именно существуют вложения сферы с главными кривизнами, не превосходящими 1 по абсолютной величине, такие, что ограниченная ею область не содержит шара радиуса 1.[4]
Примечания
↑Пестов, Г. Г., Ионин В. К. О наибольшем круге, вложенном в замкнутую кривую // Доклады АН СССР. — 1959. — Т. 127, № 6.
↑Wilhelm Blaschke Kreis und Kugel, Leipzig, Veit 1916, 3. Auflage, Berlin, de Gruyter 1956; русский перевод Круг и шар, М.: Наука, 1967, глава IV §24.
Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.
Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её.
Теорема Жордана — классическая теорема топологии, гласящая, что замкнутая плоская кривая без самопересечений делит плоскость на две различные части: «внутреннюю» и «внешнюю».
Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.
Дифференциа́льная геоме́трия кривы́х — раздел дифференциальной геометрии, который занимается исследованием гладких пространственных и плоских кривых в евклидовом пространстве аналитическими методами.
Соприкаса́ющаяся окру́жность, окру́жность кривизны́ — окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность имеют касание, порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».
Овал ― плоская замкнутая строго выпуклая гладкая кривая; следовательно, имеющая с любой прямой не более двух общих точек.
Вершина кривой — точка кривой, в которой первая производная кривизны равна нулю. Как правило, это локальный максимум или минимум кривизны и некоторые авторы определяют вершину как экстремальную точку кривизны, то есть максимум или минимум кривизны. Различие определений проявляется, например, когда вторая производная кривизны равна нулю.
Окру́жность на сфе́ре — сечение сферы плоскостью.
Изопериметри́ческое нера́венство — геометрическое неравенство, связывающее периметр замкнутой кривой на плоскости и площадь участка плоскости, ограниченной этой кривой. Этот термин также используется для различных обобщений данного неравенства.
Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.
Теорема о четырёх вершинах утверждает, что функция кривизны простой замкнутой гладкой плоской кривой имеет по меньшей мере четыре локальных экстремума. Название теоремы отражает соглашение называть экстремальные точки функции кривизны вершинами.
Выпуклая кривая — кривая на евклидовой плоскости, которая лежит по одну сторону от любой касательной прямой.
Теорема об упаковке кругов описывает возможные варианты касания окружностей, не имеющих общих внутренних точек. Граф пересечений упаковки кругов — это граф, вершины которого соответствуют кругам, а рёбра — точкам касания. Если упаковка кругов осуществляется на плоскости, то их граф пересечений называется графом монет. Графы монет всегда связны, просты и планарны. Теорема упаковки кругов утверждает, что обратное также верно:
Незацепленное вложение графа — вложение неориентированного графа в евклидово пространство, при котором никакие два цикла графа не имеют ненулевой коэффициент зацепления. Плоское вложение — вложение, при котором любой цикл является границей топологического круга, внутренность которого не зацеплена с графом. Вложимый без зацеплений граф — граф, имеющий незацепленное или плоское вложение. Эти графы образуют трёхмерный аналог планарным графам. В противоположность, существенно зацепленный граф — это граф, не имеющий незацепленного вложения.
Влади́мир Кузьми́ч Ио́нин — советский и российский математик, специалист по геометрии в целом и хронометрии.
Теорема о теннисном мячике утверждает, что гладкая кривая на поверхности сферы, которая делит её площадь на две равные части имеет не менее четырёх точек перегиба. Название теоремы происходит от стандартной формы теннисного мяча, где шов образует кривую, которая удовлетворяет условиям теоремы.
Герман Гаврилович Пестов (1932—2015) — советский и российский математик.
Теорема Тэйта — Кнезера о спирале утверждает, что, если кривизна гладкой плоской кривой монотонна, то соприкасающиеся окружности этой кривой вложены друг в друга. В частности, они не пересекаются; отсюда следует, что кривая не имеет самопересечений.
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.
