Теорема Пуанкаре о векторном поле

Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем; обобщение и уточнение теоремы о причёсывании ежа.

Из неё, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек, а на двумерном торе — может существовать.

Формулировка

Пусть на гладком замкнутом многообразии $M$ определено гладкое векторное поле $V$ , имеющее конечное число изолированных особых точек $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ . Тогда

\sum _{i=1}^{n}J_{A_{i}}(V)=\chi (M),

здесь $J_{A_{i}}(V)$ — индекс точки $A_{i}$ относительно поля $V$ и число $\chi (M)$ — эйлерова характеристика многообразия $M$ .

История

Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году^[1].

Вариации и обобщения

Аналогичные теоремы были доказаны для векторных полей с неизолированными особыми точками и для многообразий с особенностями^[2]^[3].

Примечания

↑ Двумерный вариант этой теоремы было доказан Пуанкаре в 1885 г. Полностью теорема была доказана Хопфом в 1926 г., вслед за частичными результатами Брауэра и Адамара. // Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972 (стр. 223).
↑ Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa. Vector fields on Singular Varieties Архивная копия от 12 июня 2018 на Wayback Machine. Springer, 2009.
↑ Pavao Mardešić. Index of singularities of real vector fields on singular hypersurfaces Архивная копия от 18 июня 2022 на Wayback Machine. Journal of Singularities, vol 9 (2014), 111-121.

Литература

Милнор Дж., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. Любое издание.

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства $\text{[math]}$ обычно обозначается $\text{[math]}$ .

Риманово многообразие, или риманово пространство (M, g), — это (вещественное) гладкое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.

<span class="mw-page-title-main">Бордизм</span>

Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.

Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.

Дифференциа́льная фо́рма порядка $\text{[math]}$ , или $\text{[math]}$ -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $\text{[math]}$ на многообразии.

А́лгебра Ли — объект общей алгебры, являющийся векторным пространством с определенной на ней антикоммутативной билинейной операцией, удовлетворяющей тождеству Якоби. В общем случае алгебра Ли является неассоциативной алгеброй. Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899).

Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Теорема о причёсывании ежа утверждает, что на сфере невозможно выбрать касательное направление в каждой точке, которое определено во всех точках сферы и непрерывно зависит от точки. Неформально говоря, невозможно причесать свернувшегося клубком ежа так, чтобы у него не торчала ни одна иголка — отсюда и упоминание ежа в названии теоремы.

Касательное расслоение гладкого многообразия $\text{[math]}$ — векторное расслоение над $\text{[math]}$ , слой которого в точке $\text{[math]}$ является касательным пространством $\text{[math]}$ в точке $\text{[math]}$ . Касательное расслоение обычно обозначается $\text{[math]}$ .

Гиперболическая неподвижная точка — фундаментальное понятие, использующееся в теории динамических систем по отношению к отображениям (диффеоморфизмам) и векторным полям. В случае отображения гиперболической точкой называется неподвижная точка, в которой все мультипликаторы $\text{[math]}$ по модулю отличны от единицы. В случае векторных полей гиперболической точкой называется особая точка, в которой все собственные числа линеаризации поля $\text{[math]}$ имеют ненулевые вещественные части.

Теорема Новикова о компактном слое: Двумерное слоение на трехмерном многообразии с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Слоение коразмерности 1 — это разбиение многообразия на непересекающиеся подмножества которые локально выглядят как поверхности уровня гладких регулярных функций.

Теорема Сарда — теорема математического анализа с приложениями в дифференциальной геометрии и топологии, теории катастроф и теории динамических систем.

Распределением на многообразии $\text{[math]}$ называется подрасслоение касательного расслоения многообразия. Другими словами, в каждой точке $\text{[math]}$ выбрано линейное подпространство $\text{[math]}$ касательного пространства $\text{[math]}$ которое гладко зависит от точки $\text{[math]}$ .

Индекс особой точки векторного поля — математическое понятие, относящееся к дифференциальной топологии, дифференциальной геометрии, теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений. Является топологической характеристикой изолированной особой точки векторного поля и определяется как степень гауссова отображения в данной точке.

Числа Бетти — последовательность инвариантов топологического пространства. Каждому пространству $\text{[math]}$ соответствует некая последовательность чисел Бетти $\text{[math]}$ .

Нулевое число Бетти $\text{[math]}$ совпадает с числом связных компонент;
Первое число Бетти $\text{[math]}$ интуитивно представляет собой максимальное число разрезов этого пространства, которые можно сделать без увеличения числа компонент связности.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Класс Тодда — это некоторая конструкция, которая ныне считается частью теории характеристических классов в алгебраической топологии. Класс Тодда векторного расслоения можно определить посредством теории классов Чженя и они встречаются там, где классы Чженя существуют — в первую очередь в дифференциальной топологии, теории комплексных многообразий и алгебраической геометрии. Грубо говоря, класс Тодда действует противоположно классу Чженя и относится к нему как конормальное расслоение относится к нормальному расслоению.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.