Теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности

В теории динамических систем, теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа вращения $\rho (f)$ итерируемого отображения f. Грубо говоря, оказывается, что динамика итераций отображения в определённой степени похожа на динамику поворота на соответствующий угол.

А именно, пусть задан гомеоморфизм окружности f. Тогда:

1) Число вращения рационально тогда и только тогда, когда у f есть периодические точки. При этом знаменатель числа вращения — это период любой периодической точки, а циклический порядок на окружности точек любой периодической орбиты такой же, как и у точек орбиты поворота на $\rho (f)$ . Далее, любая траектория стремится к некоторой периодической как в прямом, так и в обратном времени ( $\alpha$ - и $\omega$ -предельные траектории при этом могут быть разными).

2) Если число вращения f иррационально, то возможны два варианта:

i) либо у f есть плотная орбита, и тогда гомеоморфизм f сопряжён повороту на

\rho (f)

. В этом случае все орбиты f плотны (поскольку это верно для иррационального поворота);

ii) либо у f есть канторово инвариантное множество C, являющееся единственным минимальным множеством системы. В этом случае все траектории стремятся к C как в прямом, так и в обратном времени. Кроме того, отображение f полусопряжено повороту на

\rho (f)

: для некоторого отображения h степени 1,

h\circ f=R_{\rho (f)}\circ h.

При этом множество C в точности является множеством точек роста h — иными словами, с топологической точки зрения, h схлопывает интервалы дополнения до C.

См. также

Ссылки

Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.

Похожие исследовательские статьи

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Кони́ческое сече́ние, или ко́ника, — пересечение плоскости с поверхностью прямого кругового конуса. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того, существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса. Кроме того, параболу можно рассматривать как предельный случай эллипса, один из фокусов которого бесконечно удалён.

<span class="mw-page-title-main">Множество Жюлиа</span> множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения

Множество Жюлиа́ — множество $\text{[math]}$ , определяемое для рационального отображения $\text{[math]}$ как совокупность точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если $\text{[math]}$ — многочлен, рассматривают также заполненное множество Жюлиа — множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.

Тео́рия ха́оса — математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных, при определённых условиях, явлению, известному как хаос. Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления обычно принято использовать название теория динамического хаоса.

Динамическая система — множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Данная математическая абстракция позволяет изучать и описывать эволюцию систем во времени.

Теоре́ма Лиуви́лля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема утверждает сохранение во времени фазового объёма, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

В теории динамических систем, области математики, число вращения сохраняющего ориентацию гомеоморфизма окружности — среднее "число оборотов за одну итерацию" при длительном итерировании точки. Более точно, это предел отношения "числа оборотов" к количеству итераций.

В теории динамических систем, отображение f называется C^k-структурно устойчивым, если любое C^k-близкое к нему отображение g топологически сопряжено ему некоторым гомеоморфизмом h, близким к тождественному:

\text{[math]}

Языки Арнольда — в теории динамических систем, области рациональности числа вращения в двупараметрическом семействе гомеоморфизмов окружности, начинающемся с чистых поворотов.

В теории динамических систем, пример Данжуа — пример $\text{[math]}$ -диффеоморфизма окружности с иррациональным числом вращения, имеющего канторово инвариантное множество. М. Эрманом были затем построены примеры такого диффеоморфизма в классе гладкости $\text{[math]}$ для любого $\text{[math]}$ . Эта гладкость не может быть далее увеличена: для диффеоморфизмов с липшицевой производной имеет место теорема Данжуа, утверждающая, что такой диффеоморфизм с иррациональным числом вращения сопряжён иррациональному повороту.

В теории динамических систем, динамическая система называется минимальной, если у неё нет нетривиальных (замкнутых) подсистем.

В теории динамических систем, динамическая система $\text{[math]}$ называется (топологически) транзитивной, если у неё есть всюду плотная в фазовом пространстве орбита:

\text{[math]}

В теории динамических систем, динамическая система $\text{[math]}$ называется топологически сопряжённой динамической системе $\text{[math]}$ , если найдётся такой гомеоморфизм $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ , или, что то же самое,

\text{[math]}

Теорема Данжуа — теорема теории динамических систем, утверждающая, что $\text{[math]}$ -гладкий диффеоморфизм окружности с иррациональным числом вращения сопряжён соответствующему повороту. Требование $\text{[math]}$ -гладкости на диффеоморфизм может быть ослаблено до $\text{[math]}$ -гладкости: достаточно потребовать, чтобы логарифм его производной был бы функцией ограниченной вариации.

Кольцо Эрмана — в голоморфной динамике один из типов неподвижной или периодической компоненты связности области Фату. Такая компонента связности топологически эквивалентна кольцу, а динамика отображения должна быть сопряжена иррациональному повороту этого кольца.

Слоение — геометрическая конструкция в топологии: говорят, что на многообразии задано слоение размерности $\text{[math]}$ , если многообразие «нарезано» на «слои» размерности $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Отображение тент</span>

Отображение тент в теории динамических систем задаётся следующим образом: $\text{[math]}$

В математике конечное правило подразделения — это рекурсивный способ деления многоугольника и других двумерных фигур на всё меньшие и меньшие части. Правила подразделения в этом смысле является обобщением фракталов. Вместо повторения одного и того же узора снова и снова здесь имеются небольшие изменения на каждом шаге, что позволяет получить более богатые структуры, сохраняя при этом поддержку элегантного стиля фракталов. Правила подразделения используются в архитектуре, биологии и информатике, а также при изучении гиперболических многообразий. Подстановки плиток являются хорошо изученным видом правил подразделения.

Фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как факторповерхности верхней полуплоскости H по фуксовой группе. Любая гиперболическая риманова поверхность позволяет такое представление. Концепция названа именем Лазаря Фукса.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.