Теорема Рауса

Теорема Рауса определяет отношение между площадями заданного треугольника и треугольника, образованного тремя попарно пересекающимися чевианами. Теорема утверждает, что если в треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ лежат на сторонах ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, то, обозначив ${\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}}$${\displaystyle =x}$, ${\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}}$${\displaystyle =y}$ и ${\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}}$${\displaystyle =z}$, ориентированная площадь треугольника, образованного чевианами ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BE}$ и ${\displaystyle CF}$ по отношению к площади треугольника ${\displaystyle ABC}$ выражается соотношением

${\displaystyle {\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}}$

Теорема была доказана Э. Дж. Раусом на 82 странице его Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples в 1896 году. В частном случае, ${\displaystyle x=y=z=2}$ теорема представляет собой известную теорему об one-seventh area triangle. В случае ${\displaystyle x=y=z=1}$ медианы пересекаются в центроиде.

Положим площадь треугольника ${\displaystyle ABC}$ равной ${\displaystyle 1}$. Для треугольника ${\displaystyle ABD}$ и линии ${\displaystyle FRC}$, используя теорему Менелая, получим:

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1}$

Тогда ${\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}$ Поэтому площадь треугольника ${\displaystyle ARC}$ равна

${\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}$

Аналогично, получаем: ${\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}}$ и ${\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}}$ Таким образом, площадь треугольника ${\displaystyle PQR}$ равна:

${\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}}$

${\displaystyle =1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}}$

${\displaystyle ={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.}$

• Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh’s theorem», Crux Mathematicorum 7:199-203.
• H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219-220, 2nd edition, Wiley, New York.
• J. S. Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh’s theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21:37-40
• Jay Warendorff. Routh’s Theorem The Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W. Routh's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Routh’s Theorem by Cross Products - MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh’s theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.